Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10476
2019-05-11 
Согласно классическим представлениям, электростатическое поле атомного ядра могло бы притянуть электрон к этому ядру. Однако соотношение неопределенностей Гейзенберга устанавливает такую высокую кинетическую энергию для электрона, замкнутого в маленьком пространстве ядра, что электрон покинул бы ядро в любом случае. Каким могло бы быть атомное число трансуранового элемента, способного удерживать электрон в пределах своего ядра в течение существенного времени, если только сам элемент был бы достаточно устойчив?
Решение:
Если ядро с атомным номером $Z$ удерживает электрон в сфере радиусом $r$, то энергия электростатического взаимодействия электрона с ядром равна $E_{э} = -kZe^{2}/r$, а его импульс равен $p = \hbar/r$. Если $Z \gg 1$ (т.е. ядро тяжелое), то кинетическую энергию сильно связанного электрона можно рассчитать, используя релятивистскую формулу:
$E_{к} = \sqrt{ (pc)^{2} + (m_{0}c^{2} )^{2} } - m_{0}c^{2} \approx pc = \frac{ \hbar c}{r}$,
где $c$ - скорость света. Полная энергия электрона равна
$E(r) = E_{э}(r) + E_{к}(r) = - \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{Ze^{2} }{r} + \frac{ \hbar c}{r}$.
Если воспользоваться постоянной тонкой структуры $e^{2}/(4 \pi \epsilon_{0} \hbar c) \approx 1/137$, то полную энергию электрона для небольших значений $r$ можно представить в виде
$E(r) = \frac{e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } (137 - Z) \frac{1}{r}$.
(Полученное выражение неверно для больших значений $r$, так как тогда необходимо было бы использовать нерелятивистский импульс электрона.)
Согласно полученной формуле, электрон может удерживаться в ядре, если $Z > 137$ (или, скорее, он может быть локализован внутри маленького объема размера ядра). Число 137 - это только оценка критического атомного числа; более точные вычисления, которые принимают во внимание конечный размер ядра, дают для $Z_{крит}$ значения 150-160.
Итак, вычисления показывают, что электрон мог бы быть ограничен областью ядра элемента с атомным номером больше чем 150, если бы могли существовать трансурановые элементы таких высоких атомных чисел.
Согласно классическим представлениям, электростатическое поле атомного ядра могло бы притянуть электрон к этому ядру. Однако соотношение неопределенностей Гейзенберга устанавливает такую высокую кинетическую энергию для электрона, замкнутого в маленьком пространстве ядра, что электрон покинул бы ядро в любом случае. Каким могло бы быть атомное число трансуранового элемента, способного удерживать электрон в пределах своего ядра в течение существенного времени, если только сам элемент был бы достаточно устойчив?
Решение:
Если ядро с атомным номером $Z$ удерживает электрон в сфере радиусом $r$, то энергия электростатического взаимодействия электрона с ядром равна $E_{э} = -kZe^{2}/r$, а его импульс равен $p = \hbar/r$. Если $Z \gg 1$ (т.е. ядро тяжелое), то кинетическую энергию сильно связанного электрона можно рассчитать, используя релятивистскую формулу:
$E_{к} = \sqrt{ (pc)^{2} + (m_{0}c^{2} )^{2} } - m_{0}c^{2} \approx pc = \frac{ \hbar c}{r}$,
где $c$ - скорость света. Полная энергия электрона равна
$E(r) = E_{э}(r) + E_{к}(r) = - \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{Ze^{2} }{r} + \frac{ \hbar c}{r}$.
Если воспользоваться постоянной тонкой структуры $e^{2}/(4 \pi \epsilon_{0} \hbar c) \approx 1/137$, то полную энергию электрона для небольших значений $r$ можно представить в виде
$E(r) = \frac{e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } (137 - Z) \frac{1}{r}$.
(Полученное выражение неверно для больших значений $r$, так как тогда необходимо было бы использовать нерелятивистский импульс электрона.)
Согласно полученной формуле, электрон может удерживаться в ядре, если $Z > 137$ (или, скорее, он может быть локализован внутри маленького объема размера ядра). Число 137 - это только оценка критического атомного числа; более точные вычисления, которые принимают во внимание конечный размер ядра, дают для $Z_{крит}$ значения 150-160.
Итак, вычисления показывают, что электрон мог бы быть ограничен областью ядра элемента с атомным номером больше чем 150, если бы могли существовать трансурановые элементы таких высоких атомных чисел.
