Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10475
2019-05-11 
Электрон находится в большой прямоугольной коробке. Оцените порядок толщины слоя (на дне коробки), который занят электроном в результате гравитационного воздействия.
Решение:
Предположим, что электрон занимает горизонтальный слой толщиной $H$ над дном коробки. Его вертикальная координата тогда известна с точностью $H$. Поэтому неопределенность в его вертикальном импульсе должна быть, по крайней мере,
$\Delta p \approx \frac{ \hbar}{ \Delta x} \approx \frac{ \hbar}{H}$,
где $\hbar = h/(2 \pi)$ - постоянная Планка («перечеркнутая»). В такой модели электрон имеет потенциальную энергию
$E_{п} \approx \frac{mgH}{2}$
и кинетическую энергию
$E_{к} = \frac{ \Delta p^{2} }{2m} \approx \frac{ \hbar^{2} }{2mH^{2} }$
Таким образом, его полная энергия равна
$E(H) = E_{п}(H) + E_{к}(H) = aH + b \frac{1}{H^{2} }$,
где $a$ и $b$ - постоянные, определяемые вышеупомянутыми уравнениями. Если $H$ мало, то потенциальная энергия тоже мала, а кинетическая энергия велика. Если, с другой стороны, $H$ велико, то кинетическая энергия мала, а потенциальная энергия велика. Полная энергия минимальна, если $E_{п} (H)$ порядка $E_{к}(H)$.
Используя дифференциальное исчисление, можно показать, что оптимальное значение для отношения энергий равно 2:1 в пользу потенциальной энергии. Поскольку мы хотим получить только грубую оценку, отношение энергий можно взять за единицу. Тогда получим
$H \approx \left ( \frac{ \hbar^{2} }{m^{2}g } \right )^{1/2} \approx 1 мм$.
Это весьма большая величина по сравнению с обычными микроскопическими размерами. Причина в том, что гравитация очень слаба по сравнению с реальным электромагнитным взаимодействием, которое определяет энергию связи и размеры молекул.
Электрон находится в большой прямоугольной коробке. Оцените порядок толщины слоя (на дне коробки), который занят электроном в результате гравитационного воздействия.
Решение:
Предположим, что электрон занимает горизонтальный слой толщиной $H$ над дном коробки. Его вертикальная координата тогда известна с точностью $H$. Поэтому неопределенность в его вертикальном импульсе должна быть, по крайней мере,
$\Delta p \approx \frac{ \hbar}{ \Delta x} \approx \frac{ \hbar}{H}$,
где $\hbar = h/(2 \pi)$ - постоянная Планка («перечеркнутая»). В такой модели электрон имеет потенциальную энергию
$E_{п} \approx \frac{mgH}{2}$
и кинетическую энергию
$E_{к} = \frac{ \Delta p^{2} }{2m} \approx \frac{ \hbar^{2} }{2mH^{2} }$
Таким образом, его полная энергия равна
$E(H) = E_{п}(H) + E_{к}(H) = aH + b \frac{1}{H^{2} }$,
где $a$ и $b$ - постоянные, определяемые вышеупомянутыми уравнениями. Если $H$ мало, то потенциальная энергия тоже мала, а кинетическая энергия велика. Если, с другой стороны, $H$ велико, то кинетическая энергия мала, а потенциальная энергия велика. Полная энергия минимальна, если $E_{п} (H)$ порядка $E_{к}(H)$.
Используя дифференциальное исчисление, можно показать, что оптимальное значение для отношения энергий равно 2:1 в пользу потенциальной энергии. Поскольку мы хотим получить только грубую оценку, отношение энергий можно взять за единицу. Тогда получим
$H \approx \left ( \frac{ \hbar^{2} }{m^{2}g } \right )^{1/2} \approx 1 мм$.
Это весьма большая величина по сравнению с обычными микроскопическими размерами. Причина в том, что гравитация очень слаба по сравнению с реальным электромагнитным взаимодействием, которое определяет энергию связи и размеры молекул.
