Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1047
2016-09-18 
Брусок массой $M$ положен на другой такой же брусок с небольшим сдвигом $a$ (см. рисунок). Эта система как целое скользит по гладкому горизонтальному полу со скоростью $v_{0}$. На её пути стоит вертикальная стена, перпендикулярная направлению вектора скорости $v_{0}$ и параллельная краям брусков. Удар каждого бруска о стену абсолютно упругий, коэффициент трения между брусками $\mu$. Опишите, как будет происходить столкновение системы со стеной, и определите, какие скорости будут иметь бруски, когда этот процесс окончится.
Решение:
После удара верхнего бруска о стену его скорость изменится на противоположную по направлению, сохранив свой модуль, а скорость нижнего бруска не изменится. После этого бруски начнут двигаться навстречу друг другу с одинаковыми по модулю начальными скоростями и равными по модулю, но противоположно направленными ускорениями. Из-за этого скорости брусков будут уменьшаться, всё время оставаясь равными друг другу. В результате нижний брусок либо не достигнет стены, либо всё же ударится о неё, имея некоторую скорость и. В первом случае оба бруска останутся стоять неподвижно на некотором расстоянии от стены. Во втором случае нижний брусок, ударившись о стену, поменяет направление своей скорости на противоположное, в результате чего проскальзывание между брусками прекратится, и оба бруска продолжат движение со скоростью, равной и, в направлении от стены. Рассмотрим отдельно оба описанных случая.
Поместим начало координатной оси $X$ в угол между стеной и полом и направим её в сторону первоначального движения брусков (см. рис. ). Ясно, что после первого удара сила трения между $F_{тр} = \mu Mg$, а ускорения нижнего и верхнего брусков по модулю равны $F_{тр}/M = \mu g$. Тогда закон движения передней грани нижнего бруска имеет вид: $x(t) = — a + v_{0}t - \frac{ \mu gt^{2}}{2}$, а его скорость изменяется по закону $v(t) = v_{0} - \mu gt$. Время отсчитывается от момента удара верхнего бруска о стену. Найдём ограничение на величину скорости $v_{0}$, при которой нижний брусок не достигнет стены, то есть координаты $x = 0$. Оно следует из неравенства $x(t) < 0$. Решая его, находим, что дискриминант квадратного трёхчлена, содержащегося в неравенстве, отрицателен при $v_{0}^{2} < 2a \mu g$. Это и есть искомое ограничение. Время, через которое нижний брусок остановится, можно определить, приравняв его скорость $v(t)$ нулю: $t_{1} = v_{0}/( \mu g)$. Значит, при $v_{0}^{2} < 2a \mu g$ оба бруска в конце концов остановятся. Это — первый ответ задачи.
Пусть теперь $v_{0}^{2} \geq 2a \mu g$. Приравняв нулю $x(t)$, найдём, через какое время $t_{2}$ нижний брусок стукнется о стену:
$t_{2}^(1,2) = \frac{v_{0}}{ \mu g} \pm \frac{ \sqrt{ v_{0}^{2} - 2a \mu g}}{ \mu g} = t_{1} \pm \frac{ \sqrt{ v_{0}^{2} - 2a \mu g}}{ \mu g}$.
Для того, чтобы нижний брусок стукнулся о стену, нужно, чтобы выполнялось условие $t_{2} < t_{1}$ (иначе брусок остановится раньше, чем доедет до стены). Поэтому один из ответов для $t_{2}$ нужно отбросить, и остаётся только решение со знаком «минус» перед корнем:
$t_{2} = \frac{v_{0}}{ \mu g} - \frac{ \sqrt{ v_{0}^{2} - 2a \mu g}}{ \mu g}$.
Теперь можно найти скорость, которую будут иметь оба бруска после окончания их взаимодействия со стеной:
$u = v_{0} - \mu gt_{2} = \sqrt{ v_{0}^{2} - 2a \mu g}$.
Брусок массой $M$ положен на другой такой же брусок с небольшим сдвигом $a$ (см. рисунок). Эта система как целое скользит по гладкому горизонтальному полу со скоростью $v_{0}$. На её пути стоит вертикальная стена, перпендикулярная направлению вектора скорости $v_{0}$ и параллельная краям брусков. Удар каждого бруска о стену абсолютно упругий, коэффициент трения между брусками $\mu$. Опишите, как будет происходить столкновение системы со стеной, и определите, какие скорости будут иметь бруски, когда этот процесс окончится.
Решение:
После удара верхнего бруска о стену его скорость изменится на противоположную по направлению, сохранив свой модуль, а скорость нижнего бруска не изменится. После этого бруски начнут двигаться навстречу друг другу с одинаковыми по модулю начальными скоростями и равными по модулю, но противоположно направленными ускорениями. Из-за этого скорости брусков будут уменьшаться, всё время оставаясь равными друг другу. В результате нижний брусок либо не достигнет стены, либо всё же ударится о неё, имея некоторую скорость и. В первом случае оба бруска останутся стоять неподвижно на некотором расстоянии от стены. Во втором случае нижний брусок, ударившись о стену, поменяет направление своей скорости на противоположное, в результате чего проскальзывание между брусками прекратится, и оба бруска продолжат движение со скоростью, равной и, в направлении от стены. Рассмотрим отдельно оба описанных случая.
Поместим начало координатной оси $X$ в угол между стеной и полом и направим её в сторону первоначального движения брусков (см. рис. ). Ясно, что после первого удара сила трения между $F_{тр} = \mu Mg$, а ускорения нижнего и верхнего брусков по модулю равны $F_{тр}/M = \mu g$. Тогда закон движения передней грани нижнего бруска имеет вид: $x(t) = — a + v_{0}t - \frac{ \mu gt^{2}}{2}$, а его скорость изменяется по закону $v(t) = v_{0} - \mu gt$. Время отсчитывается от момента удара верхнего бруска о стену. Найдём ограничение на величину скорости $v_{0}$, при которой нижний брусок не достигнет стены, то есть координаты $x = 0$. Оно следует из неравенства $x(t) < 0$. Решая его, находим, что дискриминант квадратного трёхчлена, содержащегося в неравенстве, отрицателен при $v_{0}^{2} < 2a \mu g$. Это и есть искомое ограничение. Время, через которое нижний брусок остановится, можно определить, приравняв его скорость $v(t)$ нулю: $t_{1} = v_{0}/( \mu g)$. Значит, при $v_{0}^{2} < 2a \mu g$ оба бруска в конце концов остановятся. Это — первый ответ задачи.
Пусть теперь $v_{0}^{2} \geq 2a \mu g$. Приравняв нулю $x(t)$, найдём, через какое время $t_{2}$ нижний брусок стукнется о стену:
$t_{2}^(1,2) = \frac{v_{0}}{ \mu g} \pm \frac{ \sqrt{ v_{0}^{2} - 2a \mu g}}{ \mu g} = t_{1} \pm \frac{ \sqrt{ v_{0}^{2} - 2a \mu g}}{ \mu g}$.
Для того, чтобы нижний брусок стукнулся о стену, нужно, чтобы выполнялось условие $t_{2} < t_{1}$ (иначе брусок остановится раньше, чем доедет до стены). Поэтому один из ответов для $t_{2}$ нужно отбросить, и остаётся только решение со знаком «минус» перед корнем:
$t_{2} = \frac{v_{0}}{ \mu g} - \frac{ \sqrt{ v_{0}^{2} - 2a \mu g}}{ \mu g}$.
Теперь можно найти скорость, которую будут иметь оба бруска после окончания их взаимодействия со стеной:
$u = v_{0} - \mu gt_{2} = \sqrt{ v_{0}^{2} - 2a \mu g}$.
