Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10468
2019-05-11 
Часть радиоактивного ряда, начинающегося с тория-232, представлена (вместе с соответствующими периодами полураспада) ниже:
$^{232}_{90} Th \xrightarrow{ 1,41 \cdot 10^{10} \: лет} ^{228}_{88} Th \xrightarrow{5,7 \: лет} ^{228}_{89} Ac \xrightarrow{6,13 \: часа} ^{228}_{90} Th \xrightarrow{1,91 \: года} ^{224}_{88} Ra \xrightarrow{3,64 \: дня} ^{220}_{86} Rn \xrightarrow{56 \: секунд} \cdots$
Из руды извлечены торий-232 и торий-228, находящиеся в равновесии, и очищены химическим путем. Нарисуйте вид зависимости изменения числа атомов радона-220, которую необходимо ожидать в течение времени от $10^{-3}$ до $10^{3}$ лет (в логарифмическом масштабе) в $10^{-3}$ кг исходного материала.
Решение:
В равновесии изотопный состав пропорционален периодам полураспада. Поэтому в тории, который был взят для исследования, содержится почти исключительно $^{232}Th$, число атомов которого равно
$\frac{6,02 \cdot 10^{23}}{232} = 2,595 \cdot 10^{21}$,
а число атомов $^{228}Th$ составляет
$\frac{2,595 \cdot 10^{21} \cdot 1,91}{1,41 \cdot 10^{10}} \approx 3,52 \cdot 10^{11}$.
Больше в этом образце ничего не было.
Теперь мы поместим наш образец в некую замкнутую оболочку и посмотрим, как быстро появится в ней радон и как будет меняться со временем его количество. Ввиду того что $^{228}Th$ распадается за 1,91 года, а радон появляется в этом процессе всего за 3,64 дня, уже через несколько десятков дней будет достигнуто равновесное содержание радона, число атомов которого определяется по формуле
$\frac{2,595 \cdot 10^{21} \cdot 56}{1,41 \cdot 10^{10} \cdot 3 \cdot 10^{7}} \approx 3,3 \cdot 10^{5}$.
Это количество преобразованных атомов слишком мало, чтобы повлиять на общее количество $^{228} Th$. Поэтому можно считать, что в течение времени порядка времени полураспада $^{228} Th$ количество радона будет удерживаться на уровне, найденном выше. Однако наступит такое время, когда атомов $^{228} Th$ станет заметно меньше, так как число их еще не успеет пополниться за счет радиоактивного распада $^{232} Th$, а значит, уменьшится и количество атомов радона.
Минимум наступает примерно через 8 лет, когда количество атомов радона за счет распада вновь появляющихся атомов $^{228} Th$ становится одинаковым с количеством, которое обеспечивалось остаточным $^{228} Th$. С этого момента снова начинается рост количества атомов радона. Проходит еще некоторое время, и процесс, включающий всю цепочку радиоактивного распада, выходит на стационарный уровень, когда количество продуктов распада пропорционально времени полураспада. Учитывая, что время полураспада $^{232} Th$ практически бесконечно, можно считать количество исходного тория постоянным. Из этого следует, что количество атомов радона опять становится равным $3,3 \cdot 10^{5}$ и остается таким и дальше до конца времени исследования в нашей задаче.
На рисунке показан качественный график изменения количества атомов радона $_{86}^{220}Rn$ от времени.
Часть радиоактивного ряда, начинающегося с тория-232, представлена (вместе с соответствующими периодами полураспада) ниже:
$^{232}_{90} Th \xrightarrow{ 1,41 \cdot 10^{10} \: лет} ^{228}_{88} Th \xrightarrow{5,7 \: лет} ^{228}_{89} Ac \xrightarrow{6,13 \: часа} ^{228}_{90} Th \xrightarrow{1,91 \: года} ^{224}_{88} Ra \xrightarrow{3,64 \: дня} ^{220}_{86} Rn \xrightarrow{56 \: секунд} \cdots$
Из руды извлечены торий-232 и торий-228, находящиеся в равновесии, и очищены химическим путем. Нарисуйте вид зависимости изменения числа атомов радона-220, которую необходимо ожидать в течение времени от $10^{-3}$ до $10^{3}$ лет (в логарифмическом масштабе) в $10^{-3}$ кг исходного материала.
Решение:
В равновесии изотопный состав пропорционален периодам полураспада. Поэтому в тории, который был взят для исследования, содержится почти исключительно $^{232}Th$, число атомов которого равно
$\frac{6,02 \cdot 10^{23}}{232} = 2,595 \cdot 10^{21}$,
а число атомов $^{228}Th$ составляет
$\frac{2,595 \cdot 10^{21} \cdot 1,91}{1,41 \cdot 10^{10}} \approx 3,52 \cdot 10^{11}$.
Больше в этом образце ничего не было.
Теперь мы поместим наш образец в некую замкнутую оболочку и посмотрим, как быстро появится в ней радон и как будет меняться со временем его количество. Ввиду того что $^{228}Th$ распадается за 1,91 года, а радон появляется в этом процессе всего за 3,64 дня, уже через несколько десятков дней будет достигнуто равновесное содержание радона, число атомов которого определяется по формуле
$\frac{2,595 \cdot 10^{21} \cdot 56}{1,41 \cdot 10^{10} \cdot 3 \cdot 10^{7}} \approx 3,3 \cdot 10^{5}$.
Это количество преобразованных атомов слишком мало, чтобы повлиять на общее количество $^{228} Th$. Поэтому можно считать, что в течение времени порядка времени полураспада $^{228} Th$ количество радона будет удерживаться на уровне, найденном выше. Однако наступит такое время, когда атомов $^{228} Th$ станет заметно меньше, так как число их еще не успеет пополниться за счет радиоактивного распада $^{232} Th$, а значит, уменьшится и количество атомов радона.
Минимум наступает примерно через 8 лет, когда количество атомов радона за счет распада вновь появляющихся атомов $^{228} Th$ становится одинаковым с количеством, которое обеспечивалось остаточным $^{228} Th$. С этого момента снова начинается рост количества атомов радона. Проходит еще некоторое время, и процесс, включающий всю цепочку радиоактивного распада, выходит на стационарный уровень, когда количество продуктов распада пропорционально времени полураспада. Учитывая, что время полураспада $^{232} Th$ практически бесконечно, можно считать количество исходного тория постоянным. Из этого следует, что количество атомов радона опять становится равным $3,3 \cdot 10^{5}$ и остается таким и дальше до конца времени исследования в нашей задаче.
На рисунке показан качественный график изменения количества атомов радона $_{86}^{220}Rn$ от времени.
