Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10465
2019-05-11 
Первоначально незаряженный конденсатор помещен в магнитное поле индукцией $B$, параллельное его пластинам (рис.). Между пластинами перпендикулярно вектору магнитного поля начинает течь со скоростью $v$ электрически нейтральная жидкость. Расстояние между пластинами конденсатора $d$, диэлектрическая проницаемость жидкости $\epsilon$. Какое напряжение покажет вольтметр, подключенный к пластинам конденсатора?
Решение:
На маленькое тело с зарядом $Q$, которое движется со скоростью $\vec{v}$ в электрическом поле напряженностью $\vec{E}$ и магнитном поле индукцией $\vec{B}$, действует сила Лоренца (включающая в себя электрическую и магнитную составляющие)
$\vec{F} = Q( \vec{E} + [ \vec{v} \times \vec{B}])$.
В системе отсчета, перемещающейся со скоростью $\vec{v}_{0}$ относительно неподвижной системы, скорость частицы равна $\vec{v}^{ \prime} = \vec{v} - \vec{v}_{0}$. Пометим «штрихами» все физические величины в новой системе координат, тогда выражение для силы Лоренца в этой системе будет иметь вид
$\vec{F}^{ \prime} = Q^{ \prime} ( \vec{E}^{ \prime} + [ \vec{v}^{ \prime} \times \vec{B}^{ \prime}])$.
Теперь сравним эти две системы отсчета. Любая сила, которая действует на частицу и которая может быть обнаружена, не может изменяться при переходе от одной системы к другой, т.е. $\vec{F}^{ \prime} = \vec{F}$. То же самое справедливо и для электрического заряда: $Q^{ \prime} = Q$. (Если бы заряды частицы зависели от их скорости, то первоначально нейтральное тело оказалось бы электрически заряженным, но ничего подобного не наблюдается в природе. Преобразование скоростей приводит к выражению
$Q( \vec{E} + [ \vec{v} \times \vec{B}]) = Q( \vec{E}^{ \prime} - [ \vec{v}_{0} \times \vec{B}^{ \prime} ] + [ \vec{v} \times \vec{B}^{ \prime} ])$.
Это уравнение должно быть удовлетворено для любого $v$, в том числе и для $v = 0$ (для неподвижных частиц). Поэтому
$\vec{B}^{ \prime} = \vec{B}$,
откуда следует, что
$\vec{E}^{ \prime} = \vec{E} + [ \vec{v}_{0} \times \vec{B}]$.
Заметим, что электрические и магнитные поля не являются независимыми физическими величинами, их значения зависят от скорости системы отсчета.
Рассмотрим систему отсчета, которая движется вместе с жидкостью. Чтобы перейти к этой системе координат от системы координат конденсатора, требуется такое преобразование: $\vec{v}_{0} = - \vec{v}$. Магнитное поле в этой новой системе координат неизменно: $\vec{B}^{ \prime} = \vec{B}$, но в ней появляется электрическое поле $\vec{E}^{ \prime}$. Неподвижная в этой системе координат жидкость поляризуется этим полем, и, следовательно, напряженность электрического поля уменьшается в $\epsilon$ раз и становится равной
$\vec{E}^{ \prime} = \frac{[ - \vec{v} \times \vec{B} ]}{ \epsilon}$.
Теперь снова перейдем в неподвижную систему отсчета, что требует такого преобразования: $v_{0} = v$. Магнитное поле опять не меняется: $\vec{B}^{ \prime \prime} = \vec{B}^{ \prime} = \vec{B}$, но электрическое поле преобразуется:
$\vec{E}^{ \prime \prime} = \vec{E}^{ \prime} + [ \vec{v}_{0} \times \vec{B} ] = \frac{ [ - \vec{v} \times \vec{B} ] }{ \epsilon} + [ \vec{v} \times \vec{B} ] = \left ( 1 - \frac{1}{ \epsilon} \right ) [ \vec{v} \times \vec{B} ]$.
Таким образом, разность потенциалов на пластинах конденсатора будет равна
$U = vBd \left (1 - \frac{1 }{ \epsilon} \right )$.
Очевидно, что материалы, которые не поляризуются ($\epsilon = 1$), не создают разности потенциалов, т.е. $U = 0$, в то время как в случае легко поляризуемых материалов (металлов) $U = vBd$.
Это последнее уравнение, описывающее эффект Холла, можно интерпретировать следующим образом. Заряды в проводнике, движущиеся в магнитном поле, смещаются силой Лоренца. Поперечное перемещение зарядов продолжается до тех пор, пока возникающее электростатическое поле не уравновесит действие силы Лоренца. Это условие записывается в виде $QE = QvB$, откуда получаем вышеупомянутое выражение $U = Ed = vBd$.
Первоначально незаряженный конденсатор помещен в магнитное поле индукцией $B$, параллельное его пластинам (рис.). Между пластинами перпендикулярно вектору магнитного поля начинает течь со скоростью $v$ электрически нейтральная жидкость. Расстояние между пластинами конденсатора $d$, диэлектрическая проницаемость жидкости $\epsilon$. Какое напряжение покажет вольтметр, подключенный к пластинам конденсатора?
Решение:
На маленькое тело с зарядом $Q$, которое движется со скоростью $\vec{v}$ в электрическом поле напряженностью $\vec{E}$ и магнитном поле индукцией $\vec{B}$, действует сила Лоренца (включающая в себя электрическую и магнитную составляющие)
$\vec{F} = Q( \vec{E} + [ \vec{v} \times \vec{B}])$.
В системе отсчета, перемещающейся со скоростью $\vec{v}_{0}$ относительно неподвижной системы, скорость частицы равна $\vec{v}^{ \prime} = \vec{v} - \vec{v}_{0}$. Пометим «штрихами» все физические величины в новой системе координат, тогда выражение для силы Лоренца в этой системе будет иметь вид
$\vec{F}^{ \prime} = Q^{ \prime} ( \vec{E}^{ \prime} + [ \vec{v}^{ \prime} \times \vec{B}^{ \prime}])$.
Теперь сравним эти две системы отсчета. Любая сила, которая действует на частицу и которая может быть обнаружена, не может изменяться при переходе от одной системы к другой, т.е. $\vec{F}^{ \prime} = \vec{F}$. То же самое справедливо и для электрического заряда: $Q^{ \prime} = Q$. (Если бы заряды частицы зависели от их скорости, то первоначально нейтральное тело оказалось бы электрически заряженным, но ничего подобного не наблюдается в природе. Преобразование скоростей приводит к выражению
$Q( \vec{E} + [ \vec{v} \times \vec{B}]) = Q( \vec{E}^{ \prime} - [ \vec{v}_{0} \times \vec{B}^{ \prime} ] + [ \vec{v} \times \vec{B}^{ \prime} ])$.
Это уравнение должно быть удовлетворено для любого $v$, в том числе и для $v = 0$ (для неподвижных частиц). Поэтому
$\vec{B}^{ \prime} = \vec{B}$,
откуда следует, что
$\vec{E}^{ \prime} = \vec{E} + [ \vec{v}_{0} \times \vec{B}]$.
Заметим, что электрические и магнитные поля не являются независимыми физическими величинами, их значения зависят от скорости системы отсчета.
Рассмотрим систему отсчета, которая движется вместе с жидкостью. Чтобы перейти к этой системе координат от системы координат конденсатора, требуется такое преобразование: $\vec{v}_{0} = - \vec{v}$. Магнитное поле в этой новой системе координат неизменно: $\vec{B}^{ \prime} = \vec{B}$, но в ней появляется электрическое поле $\vec{E}^{ \prime}$. Неподвижная в этой системе координат жидкость поляризуется этим полем, и, следовательно, напряженность электрического поля уменьшается в $\epsilon$ раз и становится равной
$\vec{E}^{ \prime} = \frac{[ - \vec{v} \times \vec{B} ]}{ \epsilon}$.
Теперь снова перейдем в неподвижную систему отсчета, что требует такого преобразования: $v_{0} = v$. Магнитное поле опять не меняется: $\vec{B}^{ \prime \prime} = \vec{B}^{ \prime} = \vec{B}$, но электрическое поле преобразуется:
$\vec{E}^{ \prime \prime} = \vec{E}^{ \prime} + [ \vec{v}_{0} \times \vec{B} ] = \frac{ [ - \vec{v} \times \vec{B} ] }{ \epsilon} + [ \vec{v} \times \vec{B} ] = \left ( 1 - \frac{1}{ \epsilon} \right ) [ \vec{v} \times \vec{B} ]$.
Таким образом, разность потенциалов на пластинах конденсатора будет равна
$U = vBd \left (1 - \frac{1 }{ \epsilon} \right )$.
Очевидно, что материалы, которые не поляризуются ($\epsilon = 1$), не создают разности потенциалов, т.е. $U = 0$, в то время как в случае легко поляризуемых материалов (металлов) $U = vBd$.
Это последнее уравнение, описывающее эффект Холла, можно интерпретировать следующим образом. Заряды в проводнике, движущиеся в магнитном поле, смещаются силой Лоренца. Поперечное перемещение зарядов продолжается до тех пор, пока возникающее электростатическое поле не уравновесит действие силы Лоренца. Это условие записывается в виде $QE = QvB$, откуда получаем вышеупомянутое выражение $U = Ed = vBd$.
