Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10464
2019-05-11 
В вакуумной камере по тончайшему прямому проводу, который имеет очень высокую проводимость, течет ток 10 А. Электроны с начальной скоростью $v_{0}$ начинают двигаться перпендикулярно проводу от точки, которая находится на расстоянии $r_{0}$ от центра провода. Скорость электрона такова, что он не может оказаться на расстоянии меньше чем $r_{0}/2$. Чему равна скорость $v_{0}$? Влиянием геомагнитного поля пренебречь.
Решение:
Скорость электронов остается постоянной по величине в системе отсчета $K$, связанной с вакуумной камерой, потому что магнитное поле может изменять только направление скорости движущегося заряда. Рассмотрим другую систему отсчета $K^{ \prime}$, перемещающуюся параллельно проводу с постоянной скоростью $v_{0}$ относительно первой системы. Мы можем выразить силу Лоренца, действующую на частицу с зарядом $Q$, в любой системе координат:
$\vec{F}^{ \prime} = \vec{F} = Q [ \vec{v} \times \vec{B}] = Q[( \vec{v}^{ \prime} + \vec{v}_{0} ) \times \vec{B} ] = Q[ \vec{v}^{ \prime} \times \vec{B}^{ \prime} ] + Q \vec{E}^{ \prime}$.
Обратим внимание на то, что электрический ток в обеих системах отсчета должен быть одним и тем же. В системе координат $K$, где перемещаются электроны, положительные ионы стоят на месте, а сам провод нейтрален. В системе координат $K^{ \prime}$ скорость электронов, а значит, и ток электронов будут другими, но ток перемещающихся положительных ионов компенсирует изменение тока электронов. Вследствие этого магнитные поля в обеих системах одинаковы: $\vec{B}^{ \prime} = \vec{B}$. Из предыдущего равенства следует, что в системе координат $K^{ \prime}$ к неизменному магнитному полю добавляется электрическое поле, равное $[ \vec{v}_{0} \times \vec{B}]$.
Давайте теперь опишем движение электрона в системе координат $K^{ \prime}$. В этой системе имеется перпендикулярное проводу электрическое поле $E (r)$:
$E(r) = v_{0}B(r) = \frac{v_{0} \mu_{0}I }{2 \pi r}$,
где $r$ - расстояние от провода. Интегрируя это выражение, получаем выражение для потенциала:
$\phi(r) = - \frac{v_{0} \mu_{0} I }{ 2 \pi} ln r$.
В системе координат $K^{ \prime}$ - начальная скорость электрона (на расстоянии $r$ от провода) равна $\sqrt{2}v_{0}$, и электрон останавливается только тогда, когда он приблизится на расстояние $r_{0}/2$ от провода. Запишем закон сохранения энергии:
$\frac{1}{2} m ( \sqrt{2}v_{0} )^{2} = - \frac{ \mu_{0}v_{0} IQ }{2 \pi} \left ( ln \frac{r_{0} }{2} - ln r_{0} \right ) = \frac{ \mu_{0}v_{0}IQ }{2 \pi} ln 2$,
где $m$ - масса и $Q$ - заряд электрона.
Подстановка численных значений в это выражение дает начальную скорость электрона:
$v_{0} = \frac{ \mu_{0}IQ }{2 \pi m} ln 2 = 2,46 \cdot 10^{5} м/с \approx 250 км/с$.
Примечания.
а) Начальная скорость $v_{0}$ очень большая в макроскопическом масштабе, но очень маленькая для электронов; электрон достигает этой скорости, если он прошел разность потенциалов всего лишь 0,2 В. Так как 250 км/с много меньше, чем скорость света ($c = 300000 км/с$), мы оправданно пренебрегли релятивистским увеличением массы электрона.
б) Интересно заметить, что если электрон не может приближаться к проводу ближе чем на $r_{0}/2$, то максимальное расстояние электрона также ограничено и не может быть больше чем $2r_{0}$. В общем случае, если $r_{0}/n$ - минимальное расстояние, то максимальное расстояние должно быть $nr_{0}$. Это можно доказать, используя другую систему координат, перемещающуюся со скоростью $-v_{0}$.
В вакуумной камере по тончайшему прямому проводу, который имеет очень высокую проводимость, течет ток 10 А. Электроны с начальной скоростью $v_{0}$ начинают двигаться перпендикулярно проводу от точки, которая находится на расстоянии $r_{0}$ от центра провода. Скорость электрона такова, что он не может оказаться на расстоянии меньше чем $r_{0}/2$. Чему равна скорость $v_{0}$? Влиянием геомагнитного поля пренебречь.
Решение:
Скорость электронов остается постоянной по величине в системе отсчета $K$, связанной с вакуумной камерой, потому что магнитное поле может изменять только направление скорости движущегося заряда. Рассмотрим другую систему отсчета $K^{ \prime}$, перемещающуюся параллельно проводу с постоянной скоростью $v_{0}$ относительно первой системы. Мы можем выразить силу Лоренца, действующую на частицу с зарядом $Q$, в любой системе координат:
$\vec{F}^{ \prime} = \vec{F} = Q [ \vec{v} \times \vec{B}] = Q[( \vec{v}^{ \prime} + \vec{v}_{0} ) \times \vec{B} ] = Q[ \vec{v}^{ \prime} \times \vec{B}^{ \prime} ] + Q \vec{E}^{ \prime}$.
Обратим внимание на то, что электрический ток в обеих системах отсчета должен быть одним и тем же. В системе координат $K$, где перемещаются электроны, положительные ионы стоят на месте, а сам провод нейтрален. В системе координат $K^{ \prime}$ скорость электронов, а значит, и ток электронов будут другими, но ток перемещающихся положительных ионов компенсирует изменение тока электронов. Вследствие этого магнитные поля в обеих системах одинаковы: $\vec{B}^{ \prime} = \vec{B}$. Из предыдущего равенства следует, что в системе координат $K^{ \prime}$ к неизменному магнитному полю добавляется электрическое поле, равное $[ \vec{v}_{0} \times \vec{B}]$.
Давайте теперь опишем движение электрона в системе координат $K^{ \prime}$. В этой системе имеется перпендикулярное проводу электрическое поле $E (r)$:
$E(r) = v_{0}B(r) = \frac{v_{0} \mu_{0}I }{2 \pi r}$,
где $r$ - расстояние от провода. Интегрируя это выражение, получаем выражение для потенциала:
$\phi(r) = - \frac{v_{0} \mu_{0} I }{ 2 \pi} ln r$.
В системе координат $K^{ \prime}$ - начальная скорость электрона (на расстоянии $r$ от провода) равна $\sqrt{2}v_{0}$, и электрон останавливается только тогда, когда он приблизится на расстояние $r_{0}/2$ от провода. Запишем закон сохранения энергии:
$\frac{1}{2} m ( \sqrt{2}v_{0} )^{2} = - \frac{ \mu_{0}v_{0} IQ }{2 \pi} \left ( ln \frac{r_{0} }{2} - ln r_{0} \right ) = \frac{ \mu_{0}v_{0}IQ }{2 \pi} ln 2$,
где $m$ - масса и $Q$ - заряд электрона.
Подстановка численных значений в это выражение дает начальную скорость электрона:
$v_{0} = \frac{ \mu_{0}IQ }{2 \pi m} ln 2 = 2,46 \cdot 10^{5} м/с \approx 250 км/с$.
Примечания.
а) Начальная скорость $v_{0}$ очень большая в макроскопическом масштабе, но очень маленькая для электронов; электрон достигает этой скорости, если он прошел разность потенциалов всего лишь 0,2 В. Так как 250 км/с много меньше, чем скорость света ($c = 300000 км/с$), мы оправданно пренебрегли релятивистским увеличением массы электрона.
б) Интересно заметить, что если электрон не может приближаться к проводу ближе чем на $r_{0}/2$, то максимальное расстояние электрона также ограничено и не может быть больше чем $2r_{0}$. В общем случае, если $r_{0}/n$ - минимальное расстояние, то максимальное расстояние должно быть $nr_{0}$. Это можно доказать, используя другую систему координат, перемещающуюся со скоростью $-v_{0}$.
