Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10463
2019-05-11 
Длинная тонкая вертикальная стеклянная трубка расположена соосно внутри широкой стеклянной трубки с внешним радиусом $r$ (рис.). На более широкой трубке вдоль всей ее поверхности плотно с шагом $h$ закреплены металлические кольца. Сопротивление каждого кольца равно $R$. Если магниту в виде маленького бруска массой $m$ и магнитным моментом $\mu$ предоставить свободно падать внутри тонкой трубки, то через относительно короткое время скорость его достигнет максимального значения $v_{0}$ и дальше изменяться не будет. При каждом последующем эксперименте изменяют один из упомянутых параметров: $m, \mu , h, r, R$, а остальные оставляют неизменными. Как нужно изменять каждый из параметров, чтобы установившаяся скорость магнита увеличивалась в 2 раза? Всеми видами трения, само- и взаимоиндуктивностью пренебречь.
Решение:
Если магнит падает с постоянной предельной скоростью $v_{0}$ и проходит расстояние $L$, то потеря его потенциальной энергии преобразуется в джоулево тепло, выделяемое индуцированным током в металлических кольцах. Обозначив выделяемое количество теплоты в одном кольце через $Q$, мы можем записать
$mgL = Q \frac{L}{h}$, т.е. $Q = mgh$.
От каких величин может зависеть $Q$? Если магнит перемещается с постоянной скоростью $v_{0}$, то напряжение самоиндукции, возникающее в каждом кольце, можно считать постоянным. Так как мощность, выделяемая в резисторе, подключенном к источнику постоянного напряжения, обратно пропорциональна его сопротивлению, то $Q \sim R^{-1}$. Кроме того, $Q$ может зависеть от $v_{0}, \mu$ и $r$. Поэтому запишем выражение для $Q$ в таком виде:
$Q = \frac{1}{R}f (v_{0}, \mu, r)$.
Иными словами, произведение $QR$ представляет собой некую функцию предельной скорости $v_{0}$, магнитного момента $\mu$ и радиуса $r$ проволочного кольца. Помимо этого, в формулу может войти магнитная постоянная $\mu_{0}$.
Рассмотрим размерности отдельных величин. Размерность произведения $RQ$ равна
$[RQ] = кг^{2} \cdot м^{4} \cdot с^{-5} \cdot А^{-2}$.
Размерность функции $f(v_{0}, \mu , r)$ должна быть произведением таких размерностей:
$[v_{0}] = м \cdot с^{-1}, [ \mu] = А \cdot м^{2}, [r] = м, [ \mu_{0} ] = кг \cdot м \cdot с^{-2} c\dot А^{-2}$.
Сопоставляя степени размерностей основных единиц, получаем
$RQ \sim v_{0} \mu^{2} \mu_{0}^{2} r^{-3}$.
Но мы знаем, что $Q = mgh$, и поэтому можем записать
$v_{0} \sim \frac{mgh Rr^{3} }{ \mu^{2} \mu_{0}^{2} }$.
Отсюда следует, что для увеличения предельной скорости в два раза необходимо увеличить массу магнита $m$ в 2 раза (разумеется, оставив неизменными все остальные параметры), шаг $h$ - в 2 раза, сопротивление каждого кольца - в 2 раза, внешний радиус трубки - в $\sqrt[3]{2}$ раз, магнитный момент магнита - в $1/4$ раза.
Длинная тонкая вертикальная стеклянная трубка расположена соосно внутри широкой стеклянной трубки с внешним радиусом $r$ (рис.). На более широкой трубке вдоль всей ее поверхности плотно с шагом $h$ закреплены металлические кольца. Сопротивление каждого кольца равно $R$. Если магниту в виде маленького бруска массой $m$ и магнитным моментом $\mu$ предоставить свободно падать внутри тонкой трубки, то через относительно короткое время скорость его достигнет максимального значения $v_{0}$ и дальше изменяться не будет. При каждом последующем эксперименте изменяют один из упомянутых параметров: $m, \mu , h, r, R$, а остальные оставляют неизменными. Как нужно изменять каждый из параметров, чтобы установившаяся скорость магнита увеличивалась в 2 раза? Всеми видами трения, само- и взаимоиндуктивностью пренебречь.
Решение:
Если магнит падает с постоянной предельной скоростью $v_{0}$ и проходит расстояние $L$, то потеря его потенциальной энергии преобразуется в джоулево тепло, выделяемое индуцированным током в металлических кольцах. Обозначив выделяемое количество теплоты в одном кольце через $Q$, мы можем записать
$mgL = Q \frac{L}{h}$, т.е. $Q = mgh$.
От каких величин может зависеть $Q$? Если магнит перемещается с постоянной скоростью $v_{0}$, то напряжение самоиндукции, возникающее в каждом кольце, можно считать постоянным. Так как мощность, выделяемая в резисторе, подключенном к источнику постоянного напряжения, обратно пропорциональна его сопротивлению, то $Q \sim R^{-1}$. Кроме того, $Q$ может зависеть от $v_{0}, \mu$ и $r$. Поэтому запишем выражение для $Q$ в таком виде:
$Q = \frac{1}{R}f (v_{0}, \mu, r)$.
Иными словами, произведение $QR$ представляет собой некую функцию предельной скорости $v_{0}$, магнитного момента $\mu$ и радиуса $r$ проволочного кольца. Помимо этого, в формулу может войти магнитная постоянная $\mu_{0}$.
Рассмотрим размерности отдельных величин. Размерность произведения $RQ$ равна
$[RQ] = кг^{2} \cdot м^{4} \cdot с^{-5} \cdot А^{-2}$.
Размерность функции $f(v_{0}, \mu , r)$ должна быть произведением таких размерностей:
$[v_{0}] = м \cdot с^{-1}, [ \mu] = А \cdot м^{2}, [r] = м, [ \mu_{0} ] = кг \cdot м \cdot с^{-2} c\dot А^{-2}$.
Сопоставляя степени размерностей основных единиц, получаем
$RQ \sim v_{0} \mu^{2} \mu_{0}^{2} r^{-3}$.
Но мы знаем, что $Q = mgh$, и поэтому можем записать
$v_{0} \sim \frac{mgh Rr^{3} }{ \mu^{2} \mu_{0}^{2} }$.
Отсюда следует, что для увеличения предельной скорости в два раза необходимо увеличить массу магнита $m$ в 2 раза (разумеется, оставив неизменными все остальные параметры), шаг $h$ - в 2 раза, сопротивление каждого кольца - в 2 раза, внешний радиус трубки - в $\sqrt[3]{2}$ раз, магнитный момент магнита - в $1/4$ раза.
