Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10461
2019-05-11 
Маленькая электрически заряженная бусинка может скользить по тонкому диэлектрическому кольцу без трения. Электрический диполь установлен в плоскости кольца в его центре. Первоначально бусинку удерживают в точке пересечения перпендикуляра к оси диполя и кольца, как показано на рисунке. Как будет двигаться бусинка после того, как ее отпустят? Найдите нормальную силу, действующую на бусинку. Где бусинка остановится в первый раз после того, как ее отпустят? Как бусинка двигалась бы в отсутствие кольца? Считайте, что электрические силы намного больше гравитационных, поэтому силу тяжести не учитывайте.
Решение:
Запишем закон сохранения энергии для частицы массой $m$ и зарядом $Q$ (рис.):
$\frac{mv^{2}}{2} + \frac{kQ \cos \theta}{r^{2} } = \frac{mv_{0}^{2} }{2} + \frac{kQ \cos( \pi/2)}{r^{2} } = 0$.
Отсюда выразим скорость бусинки $v$ в зависимости от угла $\theta$:
$v = \sqrt{ - \frac{2kQ}{mr^{2} } \cos \theta }$,
где угол $\theta$ может изменяться в пределах $\frac{ \pi}{2} \leq \theta \leq \pi$.
Для кругового движения частицы необходима радиальная составляющая силы, равная $mv^{2}/r$. Радиальную составляющую силы, с которой электрический диполь действует на единичный заряд, т.е. радиальную составляющую электрического поля диполя, можно рассчитать по потенциалу:
$E_{r} = - \frac{d \phi}{dr} = \frac{2k}{r^{2} } \cos \theta$.
Используя выражение для скорости $v$, мы замечаем, что $QE_{r}$ в точности равно $-mv^{2}/R$, что и требуется для обеспечения центростремительного ускорения. Таким образом, кольцо не должно испытывать поперечной силы при движении бусинки. И наоборот, отсутствие кольца никак не скажется на поведении бусинки. Бусинка всегда совершает движение по кругу. Она начинает двигаться из заданной точки, ускоряется, потом замедляется и останавливается на противоположной стороне окружности, а затем движется в обратную сторону. Эти периодические движения будут продолжаться бесконечно долго.
Примечание. Движение бусинки аналогично движению математического маятника, нить которого в начальный момент отклонена на 90° от вертикали.
Маленькая электрически заряженная бусинка может скользить по тонкому диэлектрическому кольцу без трения. Электрический диполь установлен в плоскости кольца в его центре. Первоначально бусинку удерживают в точке пересечения перпендикуляра к оси диполя и кольца, как показано на рисунке. Как будет двигаться бусинка после того, как ее отпустят? Найдите нормальную силу, действующую на бусинку. Где бусинка остановится в первый раз после того, как ее отпустят? Как бусинка двигалась бы в отсутствие кольца? Считайте, что электрические силы намного больше гравитационных, поэтому силу тяжести не учитывайте.
Решение:
Запишем закон сохранения энергии для частицы массой $m$ и зарядом $Q$ (рис.):
$\frac{mv^{2}}{2} + \frac{kQ \cos \theta}{r^{2} } = \frac{mv_{0}^{2} }{2} + \frac{kQ \cos( \pi/2)}{r^{2} } = 0$.
Отсюда выразим скорость бусинки $v$ в зависимости от угла $\theta$:
$v = \sqrt{ - \frac{2kQ}{mr^{2} } \cos \theta }$,
где угол $\theta$ может изменяться в пределах $\frac{ \pi}{2} \leq \theta \leq \pi$.
Для кругового движения частицы необходима радиальная составляющая силы, равная $mv^{2}/r$. Радиальную составляющую силы, с которой электрический диполь действует на единичный заряд, т.е. радиальную составляющую электрического поля диполя, можно рассчитать по потенциалу:
$E_{r} = - \frac{d \phi}{dr} = \frac{2k}{r^{2} } \cos \theta$.
Используя выражение для скорости $v$, мы замечаем, что $QE_{r}$ в точности равно $-mv^{2}/R$, что и требуется для обеспечения центростремительного ускорения. Таким образом, кольцо не должно испытывать поперечной силы при движении бусинки. И наоборот, отсутствие кольца никак не скажется на поведении бусинки. Бусинка всегда совершает движение по кругу. Она начинает двигаться из заданной точки, ускоряется, потом замедляется и останавливается на противоположной стороне окружности, а затем движется в обратную сторону. Эти периодические движения будут продолжаться бесконечно долго.
Примечание. Движение бусинки аналогично движению математического маятника, нить которого в начальный момент отклонена на 90° от вертикали.
