Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10460
2019-05-11 
Тонкое сверхпроводящее кольцо удерживают симметрично над торцом вертикального цилиндрического магнитного стержня, как показано на рисунке. Цилиндрически симметричное магнитное поле в точке $(z, r)$ в области кольца можно охарактеризовать вертикальной $B_{z}$ и радиальной $B_{r}$ составляющими вектора магнитного поля: $B_{z} = B_{0} (1 - \alpha z)$ и $B_{r} = B_{0} \beta r$, где $B_{0}, \alpha$ и $\beta$ - константы, $z$ и $r$ - вертикальная и радиальная координаты соответственно. Первоначально ток в кольце равен нулю. Когда кольцо отпустили, оно начинает двигаться вниз вдоль вертикальной оси. Определите, каким образом движется кольцо и какой ток течет в кольце.
Для расчетов примите следующие данные: масса кольца $m = 50 мг$, его радиус $r_{0} = 0,5 см$, индуктивность $L = 1,3 \cdot 10^{-8} Гн$; индукция магнитного поля $B_{0} = 0,01 Тл$, константы $\alpha = 2 м^{-1}$ и $\beta = 32 м^{-1}$; начальные координаты центра кольца (0,0).
Решение:
Полный магнитный поток пронизывающий кольцо, состоит из потока внешнего магнитного поля и собственного потока, обусловленного самоиндукцией:
$\Phi = B_{z} \pi r_{0}^{2} + LI$.
Любое изменение магнитного потока индуцирует ток в кольце в соответствии с формулой
$RI = \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t}$.
Поскольку омическое сопротивление $R$ сверхпроводящего кольца равно нулю, магнитный поток через кольцо не должен изменяться, т.е.
$\Phi = B_{0} (1 - \alpha z) \pi r_{0}^{2} + LI = const$.
С учетом начальных условий ($z = 0, I = 0$) получаем
$\Phi = B_{0} \pi r_{0}^{2}$.
Тогда ток в кольце равен
$I = \frac{B_{0} \alpha z \pi r_{0}^{2} }{L}$.
Силу Лоренца, действующую на кольцо (которая может быть только вертикальной, из-за симметрии устройства), можно записать в виде
$F_{z} = - B_{r} \cdot 2 \pi r_{0}I (z) = - B_{0} \beta r_{0} \cdot 2 \pi r_{0} \frac{B_{0} \alpha z \pi r_{0}^{2} }{L} = - kz$,
где
$k = \frac{2 \alpha \beta ( \pi r_{0}^{2} B_{0} )^{2} }{L}$.
Сила Лоренца, таким образом, прямо пропорциональна вертикальному смещению кольца с коэффициентом пропорциональности $k$, который определяется из данных задачи. Этот результат верен только для малых смещений, так как магнитная индукция для больших изменений координат описывается более сложными формулами.
Запишем уравнение движения кольца:
$ma_{z} = F_{z} - mg = - kz - mg$.
Из уравнения следует, что кольцо совершает гармонические колебания около положения равновесия $z_{0} = - mg/k$ по закону
$z(t) - z_{0} = A \cos \omega t$,
где $\omega = \sqrt{k/m}$. Из начальных условий следует, что $A = - z_{0}$, тогда
$z(t) = \frac{g}{ \omega^{2} } ( \cos \omega t - 1)$.
Вертикальная координата $z \leq 0$, из чего следует, что сила Лоренца всегда направлена вверх и обращается в ноль в самой верхней точке колебаний. Ток в кольце течет всегда в одном и том же направлении.
Подстановка числовых данных дает: $\omega = 31,2 с^{-1}$ и $A = 1 см$. Используя выражение $z(t)$, можно теперь записать зависимость тока, текущего в кольце, от времени в виде
$I = \frac{B_{0} \alpha \pi r_{0}^{2} }{L} z(t) = \frac{B_{0} \alpha \pi r_{0}^{2}A }{L} ( \cos \omega t - 1)$.
Максимальное значение тока, которое соответствует минимальному расстоянию кольца от магнита, равно $I_{max} = 39 А$.
Тонкое сверхпроводящее кольцо удерживают симметрично над торцом вертикального цилиндрического магнитного стержня, как показано на рисунке. Цилиндрически симметричное магнитное поле в точке $(z, r)$ в области кольца можно охарактеризовать вертикальной $B_{z}$ и радиальной $B_{r}$ составляющими вектора магнитного поля: $B_{z} = B_{0} (1 - \alpha z)$ и $B_{r} = B_{0} \beta r$, где $B_{0}, \alpha$ и $\beta$ - константы, $z$ и $r$ - вертикальная и радиальная координаты соответственно. Первоначально ток в кольце равен нулю. Когда кольцо отпустили, оно начинает двигаться вниз вдоль вертикальной оси. Определите, каким образом движется кольцо и какой ток течет в кольце.
Для расчетов примите следующие данные: масса кольца $m = 50 мг$, его радиус $r_{0} = 0,5 см$, индуктивность $L = 1,3 \cdot 10^{-8} Гн$; индукция магнитного поля $B_{0} = 0,01 Тл$, константы $\alpha = 2 м^{-1}$ и $\beta = 32 м^{-1}$; начальные координаты центра кольца (0,0).
Решение:
Полный магнитный поток пронизывающий кольцо, состоит из потока внешнего магнитного поля и собственного потока, обусловленного самоиндукцией:
$\Phi = B_{z} \pi r_{0}^{2} + LI$.
Любое изменение магнитного потока индуцирует ток в кольце в соответствии с формулой
$RI = \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t}$.
Поскольку омическое сопротивление $R$ сверхпроводящего кольца равно нулю, магнитный поток через кольцо не должен изменяться, т.е.
$\Phi = B_{0} (1 - \alpha z) \pi r_{0}^{2} + LI = const$.
С учетом начальных условий ($z = 0, I = 0$) получаем
$\Phi = B_{0} \pi r_{0}^{2}$.
Тогда ток в кольце равен
$I = \frac{B_{0} \alpha z \pi r_{0}^{2} }{L}$.
Силу Лоренца, действующую на кольцо (которая может быть только вертикальной, из-за симметрии устройства), можно записать в виде
$F_{z} = - B_{r} \cdot 2 \pi r_{0}I (z) = - B_{0} \beta r_{0} \cdot 2 \pi r_{0} \frac{B_{0} \alpha z \pi r_{0}^{2} }{L} = - kz$,
где
$k = \frac{2 \alpha \beta ( \pi r_{0}^{2} B_{0} )^{2} }{L}$.
Сила Лоренца, таким образом, прямо пропорциональна вертикальному смещению кольца с коэффициентом пропорциональности $k$, который определяется из данных задачи. Этот результат верен только для малых смещений, так как магнитная индукция для больших изменений координат описывается более сложными формулами.
Запишем уравнение движения кольца:
$ma_{z} = F_{z} - mg = - kz - mg$.
Из уравнения следует, что кольцо совершает гармонические колебания около положения равновесия $z_{0} = - mg/k$ по закону
$z(t) - z_{0} = A \cos \omega t$,
где $\omega = \sqrt{k/m}$. Из начальных условий следует, что $A = - z_{0}$, тогда
$z(t) = \frac{g}{ \omega^{2} } ( \cos \omega t - 1)$.
Вертикальная координата $z \leq 0$, из чего следует, что сила Лоренца всегда направлена вверх и обращается в ноль в самой верхней точке колебаний. Ток в кольце течет всегда в одном и том же направлении.
Подстановка числовых данных дает: $\omega = 31,2 с^{-1}$ и $A = 1 см$. Используя выражение $z(t)$, можно теперь записать зависимость тока, текущего в кольце, от времени в виде
$I = \frac{B_{0} \alpha \pi r_{0}^{2} }{L} z(t) = \frac{B_{0} \alpha \pi r_{0}^{2}A }{L} ( \cos \omega t - 1)$.
Максимальное значение тока, которое соответствует минимальному расстоянию кольца от магнита, равно $I_{max} = 39 А$.
