Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1046
2016-09-18 
Мяч падает на твёрдый пол со стола высотой $H = 1 м$. При каждом ударе о пол половина энергии мяча переходит в тепло. Масса мяча $m = 0,2 кг$, избыточное давление в нём $\Delta p = 0,2 атм$, радиус $R = 10 см$. Сколько раз мяч ударится о пол?
Решение:
Неподвижно лежащий мяч деформируется по действием собственного веса (см. рис.). При подпрыгиваниях мяча, начиная с некоторого момента, его центр масс приподнимается над своим равновесным положением на столь малую высоту, что оболочка уже не отрывается от пола. Поскольку при каждом ударе мяча об пол в тепло переходит половина его энергии, то высота подскоков при этом уменьшается в 2 раза, то есть высота подскока после $n$-го удара составляет $h_{n} = (1/2)^{n}H$.
Так как деформация мяча при ударах невелика, то можно считать, что не касающаяся пола часть поверхности мяча по-прежнему сферическая, а место касания площадью $S$ становится плоским. Запишем условие равновесия неподвижно лежащего мяча: $\Delta pS = mg$. Заметим, что
$S = \pi R^{2} \sin^{2} \alpha = \pi R^{2} \cdot \frac{R^{2} - (R - \Delta h)^{2}}{R^{2}} \approx 2 \pi R \Delta h$,
где $\Delta h$ - статическая деформация лежащего мяча. Отсюда $\Delta h = \frac{mg}{2 \pi R \Delta p} \approx 0,16 мм \ll R$, то есть записанное выше приближённое равенство справедливо.
Вычислим теперь величины высот подскоков $h_{n}$ мяча после $n$-го удара и сравним их с величиной статической деформации $\Delta h$. Расчёты показывают, что $h_{13} \approx 0,12 мм < \Delta h < h_{12} \approx 0,24 мм$. Отсюда следует, что мяч подпрыгнет 12 раз, а ударится о пол 13 раз.
Мяч падает на твёрдый пол со стола высотой $H = 1 м$. При каждом ударе о пол половина энергии мяча переходит в тепло. Масса мяча $m = 0,2 кг$, избыточное давление в нём $\Delta p = 0,2 атм$, радиус $R = 10 см$. Сколько раз мяч ударится о пол?
Решение:
Неподвижно лежащий мяч деформируется по действием собственного веса (см. рис.). При подпрыгиваниях мяча, начиная с некоторого момента, его центр масс приподнимается над своим равновесным положением на столь малую высоту, что оболочка уже не отрывается от пола. Поскольку при каждом ударе мяча об пол в тепло переходит половина его энергии, то высота подскоков при этом уменьшается в 2 раза, то есть высота подскока после $n$-го удара составляет $h_{n} = (1/2)^{n}H$.
Так как деформация мяча при ударах невелика, то можно считать, что не касающаяся пола часть поверхности мяча по-прежнему сферическая, а место касания площадью $S$ становится плоским. Запишем условие равновесия неподвижно лежащего мяча: $\Delta pS = mg$. Заметим, что
$S = \pi R^{2} \sin^{2} \alpha = \pi R^{2} \cdot \frac{R^{2} - (R - \Delta h)^{2}}{R^{2}} \approx 2 \pi R \Delta h$,
где $\Delta h$ - статическая деформация лежащего мяча. Отсюда $\Delta h = \frac{mg}{2 \pi R \Delta p} \approx 0,16 мм \ll R$, то есть записанное выше приближённое равенство справедливо.
Вычислим теперь величины высот подскоков $h_{n}$ мяча после $n$-го удара и сравним их с величиной статической деформации $\Delta h$. Расчёты показывают, что $h_{13} \approx 0,12 мм < \Delta h < h_{12} \approx 0,24 мм$. Отсюда следует, что мяч подпрыгнет 12 раз, а ударится о пол 13 раз.
