Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10459
2019-05-11 
Хорошо проводящий диск радиусом $r$, укрепленный на тонком металлическом валу, вращается с угловой скоростью $\omega$ внутри длинного соленоида. Оси вала и соленоида совпадают. При помощи скользящих контактов вал и диск соединены последовательно с амперметром и обмоткой соленоида в единую цепь, как показано на рисунке. Соленоид имеет $n$ витков на единицу длины и общее сопротивление $R$. Какой ток течет через амперметр, если вся система помещена соосно в однородное магнитное поле Земли $B_{0}$? Нарисуйте график зависимости тока $I$ от скорости вращения $\omega$ (для отрицательных и положительных значений со). Докажите, что мощность, необходимая для вращения диска, равна мощности тепловыделения в обмотке соленоида.
Решение:
Результирующее магнитное поле $B^{ \prime}$ является суммой магнитных полей Земли $B_{0}$ и соленоида $B$:
$B^{ \prime} = B_{0} \pm B$.
Ток $I$, возникающий в соленоиде, определяется индуцированным напряжением $U_{инд}$ и сопротивлением $R$:
$I = \frac{U_{инд} }{R} = \frac{B^{ \prime} r^{2} \omega }{2R}$,
где индуцированное напряжение пропорционально скорости, с которой радиус диска «заметает» поток магнитного поля. Магнитное поле, создаваемое током соленоида, равно
$B = \mu_{0}nI$.
Решая систему полученных уравнений, определяем $B, B^{ \prime}$ и $I$. Два знака, встречающиеся в первом уравнении, допускают как положительное, так и отрицательное значения угловой скорости. Значение $\omega$ принимается положительным, если магнитное поле соленоида действует согласно с магнитным полем Земли. Таким образом, получаем следующие выражения для суммарного магнитного поля $B^{ \prime}$ и тока $I$:
$B^{ \prime} = \frac{2RB_{0} }{2R - \mu_{0} r^{2} \omega n }, I = \frac{B_{0}r^{2} \omega }{2R - \mu_{0} r^{2} \omega n }$.
Когда диск покоится, $I = 0$, и суммарное магнитное поле $B^{ \prime}$ равно просто $B_{0}$, т.е. магнитному полю Земли.
Если направление вращения таково, что поле соленоида направлено против внешнего магнитного поля ($\omega < 0$), суммарное поле $B^{ \prime}$ с увеличением угловой скорости диска асимптотически уменьшается до нуля. На таких высоких скоростях вращения ток в катушке стремится к $ - B_{0}/( \mu_{0} n)$ (такой ток необходим, чтобы нейтрализовать магнитное поле Земли). Вращение диска в противоположном направлении ($\omega > 0$) заставляет суммарное магнитное поле увеличиваться. Это ведет к более высокому индуцированному напряжению и большему значению тока, что, в свою очередь, приводит к дальнейшему увеличению магнитного поля. В условиях положительной обратной связи как магнитное поле, так и ток стремятся к бесконечности, когда угловая частота $\omega$ достигает критического значения $\omega_{крит} = 2R/( \mu_{0} r^{2}n)$, как показано на рисунке. При этом тепло, выделяемое в катушке, тоже должно стать бесконечно большим. Но этого практически не происходит, так как система, приводящая соленоид во вращение, не может удержать угловую скорость на уровне $\omega_{крит}$ и количество оборотов в единицу времени становятся больше критического значения, в результате чего ток и магнитное поле уменьшаются.
«Странное» поведение системы легче понять, если отношение между током в соленоиде и результирующим магнитным полем представить графически (рис.). Согласно полученному ранее уравнению
$I = \frac{B^{ \prime}r^{2} \omega}{2R}$,
ток $I$ пропорционален $B^{ \prime}$ таким образом, что коэффициент пропорциональности зависит от угловой скорости $\omega$. График зависимости $I$ от $B^{ \prime}$ представляет прямую линию, проходящую через начало координат, с тангенсом угла наклона, пропорциональным $\omega$. Уравнение
$B^{ \prime} = B_{0} + \mu_{0}nI$
для магнитного поля выражает также линейную зависимость, но ее график не проходит через начало координат. Тангенс угла наклона пропорционален $1/ ( \mu_{0}n)$ и не зависит от $\omega$. Пересечение этих двух прямых и определяет фактический ток и суммарное магнитное поле. Если $\omega = \omega_{крит}$, то наклоны двух прямых одинаковы, и уравнения не имеют решения. Практически, критическая угловая частота настолько высока, что на практике к соответствующему состоянию нельзя даже приблизиться.
Джоулево тепло, выделяемое соленоидом, должно быть равно механической работе, произведенной при вращении диска. Электрическая мощность равна $P_{эл} = IR$, в то время как механическая мощность равна произведению крутящего момента $M$ на угловую скорость $\omega$, т.е. $P_{мех} = M \omega$. Крутящий момент $M$ равен произведению силы $B^{ \prime}Ir$ на среднее расстояние $r/2$ ее линии действия от оси. Использование соотношения между $B^{ \prime}$ и $I$ подтверждает, что $P_{эл} = P_{мех}$.
Устройство, описанное в этой задаче, называется однополярным динамо.
Хорошо проводящий диск радиусом $r$, укрепленный на тонком металлическом валу, вращается с угловой скоростью $\omega$ внутри длинного соленоида. Оси вала и соленоида совпадают. При помощи скользящих контактов вал и диск соединены последовательно с амперметром и обмоткой соленоида в единую цепь, как показано на рисунке. Соленоид имеет $n$ витков на единицу длины и общее сопротивление $R$. Какой ток течет через амперметр, если вся система помещена соосно в однородное магнитное поле Земли $B_{0}$? Нарисуйте график зависимости тока $I$ от скорости вращения $\omega$ (для отрицательных и положительных значений со). Докажите, что мощность, необходимая для вращения диска, равна мощности тепловыделения в обмотке соленоида.
Решение:
Результирующее магнитное поле $B^{ \prime}$ является суммой магнитных полей Земли $B_{0}$ и соленоида $B$:
$B^{ \prime} = B_{0} \pm B$.
Ток $I$, возникающий в соленоиде, определяется индуцированным напряжением $U_{инд}$ и сопротивлением $R$:
$I = \frac{U_{инд} }{R} = \frac{B^{ \prime} r^{2} \omega }{2R}$,
где индуцированное напряжение пропорционально скорости, с которой радиус диска «заметает» поток магнитного поля. Магнитное поле, создаваемое током соленоида, равно
$B = \mu_{0}nI$.
Решая систему полученных уравнений, определяем $B, B^{ \prime}$ и $I$. Два знака, встречающиеся в первом уравнении, допускают как положительное, так и отрицательное значения угловой скорости. Значение $\omega$ принимается положительным, если магнитное поле соленоида действует согласно с магнитным полем Земли. Таким образом, получаем следующие выражения для суммарного магнитного поля $B^{ \prime}$ и тока $I$:
$B^{ \prime} = \frac{2RB_{0} }{2R - \mu_{0} r^{2} \omega n }, I = \frac{B_{0}r^{2} \omega }{2R - \mu_{0} r^{2} \omega n }$.
Когда диск покоится, $I = 0$, и суммарное магнитное поле $B^{ \prime}$ равно просто $B_{0}$, т.е. магнитному полю Земли.
Если направление вращения таково, что поле соленоида направлено против внешнего магнитного поля ($\omega < 0$), суммарное поле $B^{ \prime}$ с увеличением угловой скорости диска асимптотически уменьшается до нуля. На таких высоких скоростях вращения ток в катушке стремится к $ - B_{0}/( \mu_{0} n)$ (такой ток необходим, чтобы нейтрализовать магнитное поле Земли). Вращение диска в противоположном направлении ($\omega > 0$) заставляет суммарное магнитное поле увеличиваться. Это ведет к более высокому индуцированному напряжению и большему значению тока, что, в свою очередь, приводит к дальнейшему увеличению магнитного поля. В условиях положительной обратной связи как магнитное поле, так и ток стремятся к бесконечности, когда угловая частота $\omega$ достигает критического значения $\omega_{крит} = 2R/( \mu_{0} r^{2}n)$, как показано на рисунке. При этом тепло, выделяемое в катушке, тоже должно стать бесконечно большим. Но этого практически не происходит, так как система, приводящая соленоид во вращение, не может удержать угловую скорость на уровне $\omega_{крит}$ и количество оборотов в единицу времени становятся больше критического значения, в результате чего ток и магнитное поле уменьшаются.
«Странное» поведение системы легче понять, если отношение между током в соленоиде и результирующим магнитным полем представить графически (рис.). Согласно полученному ранее уравнению
$I = \frac{B^{ \prime}r^{2} \omega}{2R}$,
ток $I$ пропорционален $B^{ \prime}$ таким образом, что коэффициент пропорциональности зависит от угловой скорости $\omega$. График зависимости $I$ от $B^{ \prime}$ представляет прямую линию, проходящую через начало координат, с тангенсом угла наклона, пропорциональным $\omega$. Уравнение
$B^{ \prime} = B_{0} + \mu_{0}nI$
для магнитного поля выражает также линейную зависимость, но ее график не проходит через начало координат. Тангенс угла наклона пропорционален $1/ ( \mu_{0}n)$ и не зависит от $\omega$. Пересечение этих двух прямых и определяет фактический ток и суммарное магнитное поле. Если $\omega = \omega_{крит}$, то наклоны двух прямых одинаковы, и уравнения не имеют решения. Практически, критическая угловая частота настолько высока, что на практике к соответствующему состоянию нельзя даже приблизиться.
Джоулево тепло, выделяемое соленоидом, должно быть равно механической работе, произведенной при вращении диска. Электрическая мощность равна $P_{эл} = IR$, в то время как механическая мощность равна произведению крутящего момента $M$ на угловую скорость $\omega$, т.е. $P_{мех} = M \omega$. Крутящий момент $M$ равен произведению силы $B^{ \prime}Ir$ на среднее расстояние $r/2$ ее линии действия от оси. Использование соотношения между $B^{ \prime}$ и $I$ подтверждает, что $P_{эл} = P_{мех}$.
Устройство, описанное в этой задаче, называется однополярным динамо.
