Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10458
2019-05-11 
Заряд $Q$ равномерно распределен по тонкому диэлектрическому кольцу массой $m$, которое первоначально находится в покое. Какую угловую скорость приобретет кольцо, если перпендикулярно плоскости кольца включить магнитное поле $B$?
Решение:
Изменяющееся магнитное поле индуцирует в кольце электрическое поле. Так как кольцо диэлектрическое, заряды на нем закреплены. Мысленно разделим кольцо на маленькие участки длиной $\Delta s$ и обозначим $E_{t}$ касательную составляющую индуцированного электрического поля (в общем случае $E_{t}$ может изменяться от точки к точке). Заряд $\Delta Q$ на маленьком участке $\Delta s$ кольца равен
$\Delta Q = Q \frac{ \Delta s}{2 \pi r}$,
где $r$ - радиус кольца. На этот заряд действует сила
$\Delta F_{t} = \Delta QE_{t}$
и момент сил
$\Delta M = r \Delta F_{t}$.
Полный крутящий момент, испытываемый кольцом, равен
$M = \sum \Delta M = \sum rQ \frac{ \Delta s}{2 \pi r} E_{t} = \frac{Q}{2 \pi} \sum E_{t} \Delta s$.
Сумма $\sum E_{t} \Delta s$ - это индуцированная электродвижущая сила, возникающая в кольце, которая прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока:
$\sum E_{t} \Delta s = - \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t} = - \pi r^{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t}$.
Под действием крутящего момента кольцо, которое имеет момент инерции $I = mr^{2}$, начинает раскручиваться с угловым ускорением $\alpha$. В течение малого интервала времени $\Delta t$ его угловая скорость $\omega$ изменяется на
$\Delta \omega = \alpha \Delta t = \frac{M}{I} \Delta t = \frac{Q}{2 \pi } \left ( - \pi r^{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t} \right ) \frac{1}{mr^{2} } \Delta t = - \frac{Q}{2m} \Delta B$.
Так как магнитное поле увеличивается от нуля до $B$, то конечная угловая скорость кольца будет
$\omega = - \frac{QB}{2m}$.
Примечания:
а) Отрицательный знак показывает, что, если заряд положительный, то направление вектора угловой скорости противоположно вектору магнитной индукции.
б) Интересно обратить внимание на то, что конечная угловая скорость зависит только от изменения магнитного потока и не зависит от радиуса кольца, времени, в течение которого магнитный поток изменяется, и характера его изменения во времени.
в) При вычислениях мы пренебрегли магнитным полем, возникающим из-за вращающегося кольца (на нем ведь заряды закреплены).
г) Кроме случая цилиндрически симметричного однородного магнитного поля, невозможно найти значение индуцированного внутри кольца электрического поля, не зная геометрической структуры магнитного поля и местоположения кольца в магнитном поле. Мы можем определить лишь полную величину индуцированной электродвижущей силы, но не напряженности электрического поля.
Заряд $Q$ равномерно распределен по тонкому диэлектрическому кольцу массой $m$, которое первоначально находится в покое. Какую угловую скорость приобретет кольцо, если перпендикулярно плоскости кольца включить магнитное поле $B$?
Решение:
Изменяющееся магнитное поле индуцирует в кольце электрическое поле. Так как кольцо диэлектрическое, заряды на нем закреплены. Мысленно разделим кольцо на маленькие участки длиной $\Delta s$ и обозначим $E_{t}$ касательную составляющую индуцированного электрического поля (в общем случае $E_{t}$ может изменяться от точки к точке). Заряд $\Delta Q$ на маленьком участке $\Delta s$ кольца равен
$\Delta Q = Q \frac{ \Delta s}{2 \pi r}$,
где $r$ - радиус кольца. На этот заряд действует сила
$\Delta F_{t} = \Delta QE_{t}$
и момент сил
$\Delta M = r \Delta F_{t}$.
Полный крутящий момент, испытываемый кольцом, равен
$M = \sum \Delta M = \sum rQ \frac{ \Delta s}{2 \pi r} E_{t} = \frac{Q}{2 \pi} \sum E_{t} \Delta s$.
Сумма $\sum E_{t} \Delta s$ - это индуцированная электродвижущая сила, возникающая в кольце, которая прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока:
$\sum E_{t} \Delta s = - \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t} = - \pi r^{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t}$.
Под действием крутящего момента кольцо, которое имеет момент инерции $I = mr^{2}$, начинает раскручиваться с угловым ускорением $\alpha$. В течение малого интервала времени $\Delta t$ его угловая скорость $\omega$ изменяется на
$\Delta \omega = \alpha \Delta t = \frac{M}{I} \Delta t = \frac{Q}{2 \pi } \left ( - \pi r^{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t} \right ) \frac{1}{mr^{2} } \Delta t = - \frac{Q}{2m} \Delta B$.
Так как магнитное поле увеличивается от нуля до $B$, то конечная угловая скорость кольца будет
$\omega = - \frac{QB}{2m}$.
Примечания:
а) Отрицательный знак показывает, что, если заряд положительный, то направление вектора угловой скорости противоположно вектору магнитной индукции.
б) Интересно обратить внимание на то, что конечная угловая скорость зависит только от изменения магнитного потока и не зависит от радиуса кольца, времени, в течение которого магнитный поток изменяется, и характера его изменения во времени.
в) При вычислениях мы пренебрегли магнитным полем, возникающим из-за вращающегося кольца (на нем ведь заряды закреплены).
г) Кроме случая цилиндрически симметричного однородного магнитного поля, невозможно найти значение индуцированного внутри кольца электрического поля, не зная геометрической структуры магнитного поля и местоположения кольца в магнитном поле. Мы можем определить лишь полную величину индуцированной электродвижущей силы, но не напряженности электрического поля.
