Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10457
2019-05-11 
Два длинных коаксиальных соленоида с одинаковыми длинами и одинаковым числом витков подключены параллельно к одному источнику тока. Соленоиды изготовлены из одного и того же медного провода, но диаметр внешнего соленоида в два раза больше диаметра внутреннего. В вакуумном пространстве между соленоидами находится неподвижная заряженная частица. Если напряжение источника тока увеличивать с постоянной скоростью, частица будет двигаться по круговой траектории, как показано на рисунке. Чему равен радиус $r$ траектории частицы?
Решение:
Ток $I$ от времени $t$ во внешнем соленоиде изменяется по закону $I = kt$, а ток $2I$ во внутреннем соленоиде - по закону $2I = 2kt$, где $k$ - константа. Эти токи создают магнитное поле $B = \mu_{0} nkt$ во внешнем соленоиде и поле $3B$ во внутреннем, где $n$ - число витков на единицу длины. Магнитный поток через площадь, ограниченную траекторией частицы радиусом $r$, равен
$\Phi = \pi R^{2} \cdot 2B + \pi r^{2} \cdot B = (2R^{2} + r^{2} ) \pi \mu_{0} nkt$.
Постоянную величину индуцированного электрического поля Е можно рассчитать по скорости изменения магнитного потока со временем:
$E \cdot 2 \pi r = \frac{d \Phi}{dt} = (2R^{2} + r^{2} ) \pi \mu_{0} nk$,
откуда
$E = \frac{(2R^{2} + r^{2} ) \mu_{0}nk }{2r}$.
Заряженная частица удерживается на своей круговой орбите силой Лоренца:
$\frac{mv^{2} }{r} = qvB$, (*)
а ускоряется вдоль круговой орбиты электрическим полем:
$ma_{t} = qE$,
где $m$ - масса, $v$ - скорость, $a_{t}$ - касательное ускорение и $q$ -электрический заряд частицы. Поскольку электрическое поле $E$ постоянно, скорость $v$ частицы увеличивается со временем равномерно:
$v = a_{t}t = \frac{qEt}{m} = \frac{(2R^{2} + r^{2} ) \mu_{0} nkqt }{2mr}$.
Подставляя выражения для $v$ и $B$ в уравнение (*), получаем
$\frac{m}{r} \frac{(2R^{2} + r^{2}) \mu_{0} nkqt}{2mr} = q \mu_{0} nkt$.
Это уравнение удовлетворяется, если
$\frac{2R^{2} + r^{2}}{2r^{2} } = 1$,
откуда получаем
$r = \sqrt{2}R$.
Два длинных коаксиальных соленоида с одинаковыми длинами и одинаковым числом витков подключены параллельно к одному источнику тока. Соленоиды изготовлены из одного и того же медного провода, но диаметр внешнего соленоида в два раза больше диаметра внутреннего. В вакуумном пространстве между соленоидами находится неподвижная заряженная частица. Если напряжение источника тока увеличивать с постоянной скоростью, частица будет двигаться по круговой траектории, как показано на рисунке. Чему равен радиус $r$ траектории частицы?
Решение:
Ток $I$ от времени $t$ во внешнем соленоиде изменяется по закону $I = kt$, а ток $2I$ во внутреннем соленоиде - по закону $2I = 2kt$, где $k$ - константа. Эти токи создают магнитное поле $B = \mu_{0} nkt$ во внешнем соленоиде и поле $3B$ во внутреннем, где $n$ - число витков на единицу длины. Магнитный поток через площадь, ограниченную траекторией частицы радиусом $r$, равен
$\Phi = \pi R^{2} \cdot 2B + \pi r^{2} \cdot B = (2R^{2} + r^{2} ) \pi \mu_{0} nkt$.
Постоянную величину индуцированного электрического поля Е можно рассчитать по скорости изменения магнитного потока со временем:
$E \cdot 2 \pi r = \frac{d \Phi}{dt} = (2R^{2} + r^{2} ) \pi \mu_{0} nk$,
откуда
$E = \frac{(2R^{2} + r^{2} ) \mu_{0}nk }{2r}$.
Заряженная частица удерживается на своей круговой орбите силой Лоренца:
$\frac{mv^{2} }{r} = qvB$, (*)
а ускоряется вдоль круговой орбиты электрическим полем:
$ma_{t} = qE$,
где $m$ - масса, $v$ - скорость, $a_{t}$ - касательное ускорение и $q$ -электрический заряд частицы. Поскольку электрическое поле $E$ постоянно, скорость $v$ частицы увеличивается со временем равномерно:
$v = a_{t}t = \frac{qEt}{m} = \frac{(2R^{2} + r^{2} ) \mu_{0} nkqt }{2mr}$.
Подставляя выражения для $v$ и $B$ в уравнение (*), получаем
$\frac{m}{r} \frac{(2R^{2} + r^{2}) \mu_{0} nkqt}{2mr} = q \mu_{0} nkt$.
Это уравнение удовлетворяется, если
$\frac{2R^{2} + r^{2}}{2r^{2} } = 1$,
откуда получаем
$r = \sqrt{2}R$.
