Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10454
2019-05-11 
Металлическое кольцо диаметром $2r = 0,2 м$ и маленькая магнитная стрелка могут свободно вращаться относительно вертикального диаметра кольца (рис.). Стрелка находится в центре кольца. Если кольцо не вращается, то магнитная стрелка ориентируется по направлению горизонтальной составляющей магнитного поля Земли. Когда кольцо вращается со скоростью 10 оборотов в секунду, то отклонение стрелки от этого положения составляет в среднем $2^{ \circ}$. Чему равно электрическое сопротивление $R$ кольца?
Решение:
Разложим магнитное поле Земли на горизонтальную и вертикальную составляющие. Вертикальная составляющая не вызывает никакого тока в кольце, так как она находится в плоскости кольца. Пусть $B$ - горизонтальная составляющая магнитного поля, $\omega$ - угловая скорость вращения кольца. Магнитный поток $\Phi$, пронизывающий кольцо, равен
$\Phi = \pi r^{2}B \cos \omega t$,
поэтому напряжение самоиндукции составляет
$U = - \frac{d \Phi}{dt} = \omega \pi r^{2} B \sin \omega t$.
Ток, текущий в кольце, равен
$I = \frac{U}{R} = \frac{ \omega \pi r^{2}B }{R} \sin \omega t$.
Этот ток индуцирует в центре кольца магнитное поле
$B_{I} = \frac{ \mu_{0}I }{2r} = \frac{ \mu_{0} \omega \pi r B }{2R} \sin \omega t$.
Направление этого магнитного поля перпендикулярно плоскости кольца и вращается вместе с ним.
Разложим вектор $\vec{B}_{I}$ на параллельный внешнему полю $\vec{B}$ и перпендикулярный ему. Параллельная составляющая пропорциональна произведению $\cos \omega t \sin \omega t = \frac{1}{2} \sin 2 \omega t$, которое дает ноль при усреднении по времени. Перпендикулярную компоненту можно выразить так:
$B_{ \perp} = \frac{ mu_{0} \omega \pi r B }{2R} \sin^{2} \omega t = \frac{ \mu_{0} \omega \pi r B }{4R} (1 - \cos 2 \omega t)$.
При усреднении по времени справа останется только первый член:
$B_{ \perp cp} = \frac{ \mu_{0} \omega \pi r B }{4R}$.
Вот это поле и заставляет магнитную стрелку отклоняться на $\alpha = 2^{ \circ}$ от ее исходного направления (между севером и югом). Так как стрелка ориентируется по направлению суммарного магнитного поля, то угол отклонения определяется по формуле
$tg \alpha = \frac{ B_{ \perp ср}}{B} = \frac{ \mu_{0} \omega \pi r }{4R}$.
Стрелка будет совершать небольшие колебания относительно вышеупомянутого положения с амплитудой, определенной в соответствии с механическими и магнитными характеристиками стрелки й силами демпфирования.
Интересно обратить внимание на то, что угол отклонения магнитной стрелки не зависит от величины геомагнитного поля. Единственно, что важно, - это то, чтобы горизонтальная составляющая этого поля не была нулевой. Сопротивление кольца можно рассчитать из последней формулы и получить
$R = 1,78 \cdot 10^{-4} Ом$.
Металлическое кольцо диаметром $2r = 0,2 м$ и маленькая магнитная стрелка могут свободно вращаться относительно вертикального диаметра кольца (рис.). Стрелка находится в центре кольца. Если кольцо не вращается, то магнитная стрелка ориентируется по направлению горизонтальной составляющей магнитного поля Земли. Когда кольцо вращается со скоростью 10 оборотов в секунду, то отклонение стрелки от этого положения составляет в среднем $2^{ \circ}$. Чему равно электрическое сопротивление $R$ кольца?
Решение:
Разложим магнитное поле Земли на горизонтальную и вертикальную составляющие. Вертикальная составляющая не вызывает никакого тока в кольце, так как она находится в плоскости кольца. Пусть $B$ - горизонтальная составляющая магнитного поля, $\omega$ - угловая скорость вращения кольца. Магнитный поток $\Phi$, пронизывающий кольцо, равен
$\Phi = \pi r^{2}B \cos \omega t$,
поэтому напряжение самоиндукции составляет
$U = - \frac{d \Phi}{dt} = \omega \pi r^{2} B \sin \omega t$.
Ток, текущий в кольце, равен
$I = \frac{U}{R} = \frac{ \omega \pi r^{2}B }{R} \sin \omega t$.
Этот ток индуцирует в центре кольца магнитное поле
$B_{I} = \frac{ \mu_{0}I }{2r} = \frac{ \mu_{0} \omega \pi r B }{2R} \sin \omega t$.
Направление этого магнитного поля перпендикулярно плоскости кольца и вращается вместе с ним.
Разложим вектор $\vec{B}_{I}$ на параллельный внешнему полю $\vec{B}$ и перпендикулярный ему. Параллельная составляющая пропорциональна произведению $\cos \omega t \sin \omega t = \frac{1}{2} \sin 2 \omega t$, которое дает ноль при усреднении по времени. Перпендикулярную компоненту можно выразить так:
$B_{ \perp} = \frac{ mu_{0} \omega \pi r B }{2R} \sin^{2} \omega t = \frac{ \mu_{0} \omega \pi r B }{4R} (1 - \cos 2 \omega t)$.
При усреднении по времени справа останется только первый член:
$B_{ \perp cp} = \frac{ \mu_{0} \omega \pi r B }{4R}$.
Вот это поле и заставляет магнитную стрелку отклоняться на $\alpha = 2^{ \circ}$ от ее исходного направления (между севером и югом). Так как стрелка ориентируется по направлению суммарного магнитного поля, то угол отклонения определяется по формуле
$tg \alpha = \frac{ B_{ \perp ср}}{B} = \frac{ \mu_{0} \omega \pi r }{4R}$.
Стрелка будет совершать небольшие колебания относительно вышеупомянутого положения с амплитудой, определенной в соответствии с механическими и магнитными характеристиками стрелки й силами демпфирования.
Интересно обратить внимание на то, что угол отклонения магнитной стрелки не зависит от величины геомагнитного поля. Единственно, что важно, - это то, чтобы горизонтальная составляющая этого поля не была нулевой. Сопротивление кольца можно рассчитать из последней формулы и получить
$R = 1,78 \cdot 10^{-4} Ом$.
