Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10453
2019-05-11 
Джек и Джилл должны были решить задачу о распределении заряда в велосипедной спице, когда колесо вращается в однородном магнитном поле, совпадающем по направлению с его осью.
Джилл знает решение задачи 10451 и просто использует его. Пренебрегая массой электрона, она делает вывод, что плотность заряда равна $\rho = 2 \epsilon_{0}B \omega$. Решение Джека основано на том факте, что спица велосипеда - это тонкий металлический стержень. Он рассматривает одномерную задачу и считает, что наведенное в спице электрическое поле зависит от $r$ так: $E(r) = r B \omega$. Затем Джек применяет теорему Гаусса к сечению спицы длиной $\Delta r$: $\left ( \frac{ \rho }{ \epsilon_{0} } \right ) S \Delta r = S \Delta E = B \omega S \Delta r$, где $S$ - площадь поперечного сечения спицы. Из этого уравнения он получает для плотности заряда такое выражение: $\rho = \epsilon_{0}B \omega$, что дает значение р в два раза меньшее, чем получила Джилл.
Прокомментируйте эти отличающиеся результаты.
Решение:
Ошибочно рассматривать данную задачу как одномерную. Величина электрического поля, рассчитанная Джеком, правильная ($E(r) = \omega Br$), но направление электрического поля в пределах вращающейся спицы направлено по радиусу от оси вращения, как показано на рисунке. Это означает, что электрический поток через боковую поверхность цилиндрического стержня отличен от нуля.
Более того, как будет показано ниже, для элементарного цилиндра полный поток через боковую поверхность спицы равен величине потока через ее внешний конец. Вероятно, это удивительно, что половина электрического потока выходит через боковую поверхность цилиндра.
Правильный результат можно рассчитать, используя закон Гаусса. Соответственно выбранная поверхность показана на рисунке. Полный поток вектора напряженности электрического поля равен
$\Phi = E(r + \Delta r) h(r + \Delta r) \theta - E(r) hr \theta = B \omega h \theta ((r + \Delta r )^{2} - r^{2} ) \approx 2 B \omega h \theta r \Delta r$.
Мы можем связать поток с плотностью заряда, используя соотношение
$\Phi = \frac{ \rho \Delta V}{ \epsilon_{0} } = \frac{ \rho h \theta r \Delta r}{ \epsilon_{0} }$,
которое дает величину плотности заряда $\rho$, идентичную величине, которую получила Джилл.
Примечание. Плотность заряда может быть или положительной, или отрицательной, в зависимости от направлений вращения и индукции магнитного поля. Распределение заряда внутри спицы однородно, но результирующий заряд на спице нулевой, поскольку на поверхности спицы есть заряды противоположного , знак. Поверхностное распределение сложное и не может быть найдено элементарными методами.
Джек и Джилл должны были решить задачу о распределении заряда в велосипедной спице, когда колесо вращается в однородном магнитном поле, совпадающем по направлению с его осью.
Джилл знает решение задачи 10451 и просто использует его. Пренебрегая массой электрона, она делает вывод, что плотность заряда равна $\rho = 2 \epsilon_{0}B \omega$. Решение Джека основано на том факте, что спица велосипеда - это тонкий металлический стержень. Он рассматривает одномерную задачу и считает, что наведенное в спице электрическое поле зависит от $r$ так: $E(r) = r B \omega$. Затем Джек применяет теорему Гаусса к сечению спицы длиной $\Delta r$: $\left ( \frac{ \rho }{ \epsilon_{0} } \right ) S \Delta r = S \Delta E = B \omega S \Delta r$, где $S$ - площадь поперечного сечения спицы. Из этого уравнения он получает для плотности заряда такое выражение: $\rho = \epsilon_{0}B \omega$, что дает значение р в два раза меньшее, чем получила Джилл.
Прокомментируйте эти отличающиеся результаты.
Решение:
Ошибочно рассматривать данную задачу как одномерную. Величина электрического поля, рассчитанная Джеком, правильная ($E(r) = \omega Br$), но направление электрического поля в пределах вращающейся спицы направлено по радиусу от оси вращения, как показано на рисунке. Это означает, что электрический поток через боковую поверхность цилиндрического стержня отличен от нуля.
Более того, как будет показано ниже, для элементарного цилиндра полный поток через боковую поверхность спицы равен величине потока через ее внешний конец. Вероятно, это удивительно, что половина электрического потока выходит через боковую поверхность цилиндра.
Правильный результат можно рассчитать, используя закон Гаусса. Соответственно выбранная поверхность показана на рисунке. Полный поток вектора напряженности электрического поля равен
$\Phi = E(r + \Delta r) h(r + \Delta r) \theta - E(r) hr \theta = B \omega h \theta ((r + \Delta r )^{2} - r^{2} ) \approx 2 B \omega h \theta r \Delta r$.
Мы можем связать поток с плотностью заряда, используя соотношение
$\Phi = \frac{ \rho \Delta V}{ \epsilon_{0} } = \frac{ \rho h \theta r \Delta r}{ \epsilon_{0} }$,
которое дает величину плотности заряда $\rho$, идентичную величине, которую получила Джилл.
Примечание. Плотность заряда может быть или положительной, или отрицательной, в зависимости от направлений вращения и индукции магнитного поля. Распределение заряда внутри спицы однородно, но результирующий заряд на спице нулевой, поскольку на поверхности спицы есть заряды противоположного , знак. Поверхностное распределение сложное и не может быть найдено элементарными методами.
