Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10452
2019-05-11 
Рассмотрите результат задачи 10451, используя вращающуюся систему отсчета, связанную с цилиндром. Опишите электрические и магнитные поля в этой вращающейся (неинерциальной) системе отсчета. (Считайте, что угловая скорость вращения намного меньше циклотронной частоты $\omega_{0} = \frac{eB}{m}$, где $e$ и $m$ - заряд и масса электрона соответственно.)
Решение:
Распределение электрического заряда в любой точке во вращающейся системе координат $K^{ \prime}$ такое же, как и в лабораторной (инерциональной) системе координат $K$, потому что плотность заряда пропорциональна числу электронов в единичном объеме, а число и объем не зависят от системы координат, т.е. инвариантны. Из этого следует, что плотность электрического заряда однородна во вращающейся системе координат и равна
$\rho^{ \prime} = \rho = 2 \epsilon_{0} \left ( \pm B \omega + \frac{m \omega^{2} }{ \epsilon} \right ) \approx \pm 2 \epsilon_{0} B \omega$.
Сила, действующая на заряженную-частицу, должна быть одной и той же в обеих системах отсчета (это иллюстрируется, например, тем фактом, что удлинение пружины, которое измеряет силу, не зависит от системы отсчета). Таким образом, $F^{ \prime} = F$.
Во вращающейся системе координат, связанной с цилиндром, свободные электроны металла находятся в покое, и, таким образом, суммарная сила, действующая на них, должна быть нулевой (иначе они двигались бы). Если центробежной силой пренебрегают, то это означает, что электрическое поле также должно быть нулевым ( $E^{ \prime} = 0$ ). Далее,
$q( \vec{E} + [ \vec{v} \times \vec{B}]) = \vec{F} = \vec{F}^{ \prime} = Q( \vec{E}^{ \prime} + [( \vec{v} + \vec{v}_{отн} ) \times \vec{B}^{ \prime} ])$,
где $\vec{v}_{отн}$ - относительная скорость двух систем координат, которая различна для разных точек цилиндра. Напомним, что $E = \omega Br$, и заметим, что векторное произведение $[ \vec{v}_{отн} \times \vec{B}^{ \prime}]$ равно $\omega B^{ \prime} r$ и направлено по радиусу. Тогда мы делаем вывод, что магнитное поле то же самое в обеих системах координат, т.е. $\vec{B}^{ \prime} = \vec{B}$. Из этого следует, что во вращающейся системе отсчета электрические заряды могут существовать без связанного с ними электрического поля, как показано на рисунке.
Точно так же можно доказать, что в системе отсчета наблюдателя, вращающегося в однородном магнитном поле, существует неоднородное электрическое поле, хотя нет никаких электрических зарядов (рис.).
Это означает, что закон Гаусса (соотношение между электрическим потоком и зарядами, связанными с ним) не выполняется во вращающихся системах отсчета. Это - удивительный результат, который справедлив даже при медленном (нерелятивистском) движении.
Рассмотрите результат задачи 10451, используя вращающуюся систему отсчета, связанную с цилиндром. Опишите электрические и магнитные поля в этой вращающейся (неинерциальной) системе отсчета. (Считайте, что угловая скорость вращения намного меньше циклотронной частоты $\omega_{0} = \frac{eB}{m}$, где $e$ и $m$ - заряд и масса электрона соответственно.)
Решение:
Распределение электрического заряда в любой точке во вращающейся системе координат $K^{ \prime}$ такое же, как и в лабораторной (инерциональной) системе координат $K$, потому что плотность заряда пропорциональна числу электронов в единичном объеме, а число и объем не зависят от системы координат, т.е. инвариантны. Из этого следует, что плотность электрического заряда однородна во вращающейся системе координат и равна
$\rho^{ \prime} = \rho = 2 \epsilon_{0} \left ( \pm B \omega + \frac{m \omega^{2} }{ \epsilon} \right ) \approx \pm 2 \epsilon_{0} B \omega$.
Сила, действующая на заряженную-частицу, должна быть одной и той же в обеих системах отсчета (это иллюстрируется, например, тем фактом, что удлинение пружины, которое измеряет силу, не зависит от системы отсчета). Таким образом, $F^{ \prime} = F$.
Во вращающейся системе координат, связанной с цилиндром, свободные электроны металла находятся в покое, и, таким образом, суммарная сила, действующая на них, должна быть нулевой (иначе они двигались бы). Если центробежной силой пренебрегают, то это означает, что электрическое поле также должно быть нулевым ( $E^{ \prime} = 0$ ). Далее,
$q( \vec{E} + [ \vec{v} \times \vec{B}]) = \vec{F} = \vec{F}^{ \prime} = Q( \vec{E}^{ \prime} + [( \vec{v} + \vec{v}_{отн} ) \times \vec{B}^{ \prime} ])$,
где $\vec{v}_{отн}$ - относительная скорость двух систем координат, которая различна для разных точек цилиндра. Напомним, что $E = \omega Br$, и заметим, что векторное произведение $[ \vec{v}_{отн} \times \vec{B}^{ \prime}]$ равно $\omega B^{ \prime} r$ и направлено по радиусу. Тогда мы делаем вывод, что магнитное поле то же самое в обеих системах координат, т.е. $\vec{B}^{ \prime} = \vec{B}$. Из этого следует, что во вращающейся системе отсчета электрические заряды могут существовать без связанного с ними электрического поля, как показано на рисунке.
Точно так же можно доказать, что в системе отсчета наблюдателя, вращающегося в однородном магнитном поле, существует неоднородное электрическое поле, хотя нет никаких электрических зарядов (рис.).
Это означает, что закон Гаусса (соотношение между электрическим потоком и зарядами, связанными с ним) не выполняется во вращающихся системах отсчета. Это - удивительный результат, который справедлив даже при медленном (нерелятивистском) движении.
