Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10451
2019-05-11 
Твердый металлический цилиндр вращается с угловой скоростью $\omega$ относительно оси симметрии. Цилиндр находится в однородном и параллельном его оси магнитном поле индукцией $B$. Каково распределение плотности заряда внутри цилиндра? Существует ли угловая скорость, при которой плотность заряда везде остается равной нулю?
Решение:
Уравнение, описывающее силы, которые удерживают свободный электрон на круговой орбите (внутри цилиндра), имеет вид
$eE \pm er \omega B = mr \omega^{2}$,
где $e$ - заряд электрона, $m$ - его масса, $r$ - расстояние от оси вращения и $E$ - напряженность электростатического поля, возникающего в цилиндре из-за перераспределения заряда. Знак «±» показывает, что магнитная сила Лоренца может быть направлена внутрь или наружу, в зависимости от направления вращения цилиндра. Преобразование уравнения движения дает
$Ee = \left ( \frac{m \omega^{2} }{e} \pm \omega B \right ) r \equiv Kr$,
откуда видно, что напряженность электростатического поля непосредственно пропорциональна радиусу орбиты.
Используя закон Гаусса, можно найти плотность электрического заряда в цилиндре. Рассмотрим тонкую цилиндрическую оболочку, изображённую на рисунке, и обозначим плотность заряда на расстоянии $r$ от оси через $\rho$. Поток вектора напряженности, который входит изнутри в цилиндрическую оболочку, равен $2 \pi LE(r)$, а который выходит из нее, равен
$2 \pi (r + \Delta r) E(r + \Delta r)$.
Согласно закону Гаусса, имеем
$K (r + \Delta r) \cdot 2 \pi (r + \Delta r) L - Kr \cdot 2 \pi L = \frac{1}{ \epsilon_{0} } \rho \cdot 2 \pi r \Delta r L$.
Теперь можем получить выражение для плотности заряда:
$\rho = \frac{2 \epsilon_{0} \omega m }{e} \left ( \omega \pm \frac{eB}{m} \right )$.
Отметим, что плотность заряда не зависит от $r$. Она может быть положительная, отрицательная или нулевая - в зависимости от направлений и величин магнитного поля и угловой скорости. Плотность заряда равна нулю, если $\omega = eB/m$. Для этой ситуации положительные и отрицательные заряды не разделены внутри цилиндра, совершая вместе с цилиндром круговое движение.
Примечание. Чтобы получцть представление о порядках используемых величин, примите, что данное магнитное поле сопоставимо с магнитным полем Земли около экватора, т.е. $B = 3 \cdot 10^{-5} Тл$. Нулевая плотность заряда соответствует угловой скорости $\omega = eB/m = 5,3 \cdot 10^{6} с^{-1}$ - это больше чем 50 миллионов оборотов в минуту! Такое быстрое вращение не может быть реализовано практически, так как никакой материал не выдержит этого.
Твердый металлический цилиндр вращается с угловой скоростью $\omega$ относительно оси симметрии. Цилиндр находится в однородном и параллельном его оси магнитном поле индукцией $B$. Каково распределение плотности заряда внутри цилиндра? Существует ли угловая скорость, при которой плотность заряда везде остается равной нулю?
Решение:
Уравнение, описывающее силы, которые удерживают свободный электрон на круговой орбите (внутри цилиндра), имеет вид
$eE \pm er \omega B = mr \omega^{2}$,
где $e$ - заряд электрона, $m$ - его масса, $r$ - расстояние от оси вращения и $E$ - напряженность электростатического поля, возникающего в цилиндре из-за перераспределения заряда. Знак «±» показывает, что магнитная сила Лоренца может быть направлена внутрь или наружу, в зависимости от направления вращения цилиндра. Преобразование уравнения движения дает
$Ee = \left ( \frac{m \omega^{2} }{e} \pm \omega B \right ) r \equiv Kr$,
откуда видно, что напряженность электростатического поля непосредственно пропорциональна радиусу орбиты.
Используя закон Гаусса, можно найти плотность электрического заряда в цилиндре. Рассмотрим тонкую цилиндрическую оболочку, изображённую на рисунке, и обозначим плотность заряда на расстоянии $r$ от оси через $\rho$. Поток вектора напряженности, который входит изнутри в цилиндрическую оболочку, равен $2 \pi LE(r)$, а который выходит из нее, равен
$2 \pi (r + \Delta r) E(r + \Delta r)$.
Согласно закону Гаусса, имеем
$K (r + \Delta r) \cdot 2 \pi (r + \Delta r) L - Kr \cdot 2 \pi L = \frac{1}{ \epsilon_{0} } \rho \cdot 2 \pi r \Delta r L$.
Теперь можем получить выражение для плотности заряда:
$\rho = \frac{2 \epsilon_{0} \omega m }{e} \left ( \omega \pm \frac{eB}{m} \right )$.
Отметим, что плотность заряда не зависит от $r$. Она может быть положительная, отрицательная или нулевая - в зависимости от направлений и величин магнитного поля и угловой скорости. Плотность заряда равна нулю, если $\omega = eB/m$. Для этой ситуации положительные и отрицательные заряды не разделены внутри цилиндра, совершая вместе с цилиндром круговое движение.
Примечание. Чтобы получцть представление о порядках используемых величин, примите, что данное магнитное поле сопоставимо с магнитным полем Земли около экватора, т.е. $B = 3 \cdot 10^{-5} Тл$. Нулевая плотность заряда соответствует угловой скорости $\omega = eB/m = 5,3 \cdot 10^{6} с^{-1}$ - это больше чем 50 миллионов оборотов в минуту! Такое быстрое вращение не может быть реализовано практически, так как никакой материал не выдержит этого.
