Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1045
2016-09-18 
Магазин пистолета представляет собой металлический пенал, внутри которого имеется лёгкий поршень, подпираемый пружиной. Когда магазин пуст, поршень касается его крышки. Магазин устроен таким образом, что из него можно вынимать только находящийся у крышки патрон — через небольшое отверстие в боковой стенке. После вынимания патрона поршень под действием пружины перемещается и передвигает всё оставшиеся в магазине патроны к крышке.
В магазин вставили $N$ одинаковых патронов массой $m$ и длиной $L$, после чего вынули по очереди все патроны, держа магазин крышкой вверх (см. рисунок). Коэффициенты трения между патронами, а также между патроном и крышкой и между патроном и поршнем одинаковы и равны $\mu$. На сколько работа против сил трения при опустошении магазина будет больше, если при вынимании патронов держать его крышкой вниз? Трением между боковыми стенками магазина и патронами, а также массой пружины пренебречь.
Решение:
Рассмотрим ситуацию, когда магазин расположен крышкой вверх, и в нём находятся $n$ патронов (см. рис.). При этом на верхний патрон со стороны крышки действует сила $F_{1}$, на следующий патрон со стороны верхнего — сила $F_{2} = F_{1} + mg$, на третий патрон со стороны лежащего над ним второго — сила $F_{3} = F_{2} + mg = F_{1} + 2mg$, и так далее. На $n$-й патрон снизу, со стороны поршня, действует сила $F_{n+1} = F_{1} + nmg$, которая возникает из-за деформации пружины и равна $F_{n+1} = F_{0} + knd$. Здесь $k$ — коэффициент жёсткости пружины, $d$ — диаметр патрона, $F_{0}$ — сила, с которой поршень прижимается к крышке при пустом магазине. Отсюда получаем: $F_{1} = F_{0} + (kd — mg)n$. Сила трения скольжения, действующая на верхний патрон при его вытаскивании, равна
$F_{тр} = \mu (F_{1} + F_{2}) = \mu (2F_{1} + mg) = \mu (2F_{0} + 2(kd-mg)n + mg)$,
а работа, которую нужно совершить при вытаскивании этого патрона:
$A_{n} = \mu L(2 F_{0} + 2(kd - mg)n + mg)$.
Полная работа, необходимая для опустошения магазина, в данном случае равна
$A = \sum_{n=1}^{N} A_{n} = \mu LN(2F_{0} + mg) + 2 \mu L(kd - mg) \sum_{n=1}^{N} n = \mu LN (2F_{0} + mg) + 2 \mu L (kd - mg) \cdot \frac{N(N+1)}{2} = \mu LN (2F_{0} + kd (N+1) - mgN)$.
Здесь мы воспользовались формулой для вычисления суммы первых $N$ членов арифметической прогрессии: $\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2}$.
Если перевернуть магазин крышкой вниз, то на рисунке направление силы тяжести изменится на противоположное. Поэтому для того, чтобы найти работу по опустошению магазина во втором случае, нужно в выражении для $A$ изменить знак перед $g$. В итоге получим: $A^{ \prime} = \mu LN(2F_{0} + kd(N + 1) + mgN)$.
Таким образом, во втором случае работа будет больше на величину $\Delta A = A^{ \prime} - A = 2 \mu mgLN^{2}$.
Магазин пистолета представляет собой металлический пенал, внутри которого имеется лёгкий поршень, подпираемый пружиной. Когда магазин пуст, поршень касается его крышки. Магазин устроен таким образом, что из него можно вынимать только находящийся у крышки патрон — через небольшое отверстие в боковой стенке. После вынимания патрона поршень под действием пружины перемещается и передвигает всё оставшиеся в магазине патроны к крышке.
В магазин вставили $N$ одинаковых патронов массой $m$ и длиной $L$, после чего вынули по очереди все патроны, держа магазин крышкой вверх (см. рисунок). Коэффициенты трения между патронами, а также между патроном и крышкой и между патроном и поршнем одинаковы и равны $\mu$. На сколько работа против сил трения при опустошении магазина будет больше, если при вынимании патронов держать его крышкой вниз? Трением между боковыми стенками магазина и патронами, а также массой пружины пренебречь.
Решение:
Рассмотрим ситуацию, когда магазин расположен крышкой вверх, и в нём находятся $n$ патронов (см. рис.). При этом на верхний патрон со стороны крышки действует сила $F_{1}$, на следующий патрон со стороны верхнего — сила $F_{2} = F_{1} + mg$, на третий патрон со стороны лежащего над ним второго — сила $F_{3} = F_{2} + mg = F_{1} + 2mg$, и так далее. На $n$-й патрон снизу, со стороны поршня, действует сила $F_{n+1} = F_{1} + nmg$, которая возникает из-за деформации пружины и равна $F_{n+1} = F_{0} + knd$. Здесь $k$ — коэффициент жёсткости пружины, $d$ — диаметр патрона, $F_{0}$ — сила, с которой поршень прижимается к крышке при пустом магазине. Отсюда получаем: $F_{1} = F_{0} + (kd — mg)n$. Сила трения скольжения, действующая на верхний патрон при его вытаскивании, равна
$F_{тр} = \mu (F_{1} + F_{2}) = \mu (2F_{1} + mg) = \mu (2F_{0} + 2(kd-mg)n + mg)$,
а работа, которую нужно совершить при вытаскивании этого патрона:
$A_{n} = \mu L(2 F_{0} + 2(kd - mg)n + mg)$.
Полная работа, необходимая для опустошения магазина, в данном случае равна
$A = \sum_{n=1}^{N} A_{n} = \mu LN(2F_{0} + mg) + 2 \mu L(kd - mg) \sum_{n=1}^{N} n = \mu LN (2F_{0} + mg) + 2 \mu L (kd - mg) \cdot \frac{N(N+1)}{2} = \mu LN (2F_{0} + kd (N+1) - mgN)$.
Здесь мы воспользовались формулой для вычисления суммы первых $N$ членов арифметической прогрессии: $\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2}$.
Если перевернуть магазин крышкой вниз, то на рисунке направление силы тяжести изменится на противоположное. Поэтому для того, чтобы найти работу по опустошению магазина во втором случае, нужно в выражении для $A$ изменить знак перед $g$. В итоге получим: $A^{ \prime} = \mu LN(2F_{0} + kd(N + 1) + mgN)$.
Таким образом, во втором случае работа будет больше на величину $\Delta A = A^{ \prime} - A = 2 \mu mgLN^{2}$.
