Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10448
2019-05-11 
а) Нарисуйте качественно график зависимости амплитудного значения тока, который идет от источника в цепях, показанных на рисунках, от $x = \frac{ \omega }{ \omega_{0}}$, где $\omega = \frac{1}{ \sqrt{LC}}$.
6) Используя три или больше компонентов, показанных на рисунках, постройте пять новых цепей, в каждой из которых будет наблюдаться резонанс токов на различных частотах (максимальный по амплитуде ток, потребляемый от источника при некоторой частоте).
Решение:
а) Такие цепи, трудоемкие для анализа с помощью дифференциальных уравнений, становятся простыми, если использовать комплексные импедансы. Импеданс катушки индуктивностью $L$ при угловой частоте $\omega$ равен $i \omega L$, импенданс конденсатора емкостью $C$ равен $1/( i \omega C)$. Здесь мнимая единица $i$ равна квадратному корню из -1, т.е. $i^{2} = -1$. Импедансы подчиняются тем же самым правилам, что и сопротивления резисторов, а именно: при последовательном соединении общее сопротивление равно
$R = R_{1} + R_{2}$,
при параллельном соединении общее сопротивление равно
$R = \frac{R_{1}R_{2} }{R_{1} + R_{2} }$.
Для схемы, представленной в условии задачи на рисунке, полный импеданс $Z$ записывается в виде
$Z = \frac{i \omega L \cdot i \omega L}{ i \omega L + i \omega L} + \frac{ \frac{1}{i \omega C} \frac{1}{i \omega C} }{ \frac{1}{i \omega C} + \frac{1}{i \omega C} } = \frac{i \omega L}{2} + \frac{1}{2 i \omega C} = \frac{1 - \omega^{2}LC }{2 i \omega C}$.
Величина тока, идущего от источника, равна
$|I| = \frac{|U_{0} |}{|Z|} = \frac{U_{0} |2 i \omega C| }{|1 - \omega^{2}LC |} = CU_{0} \omega_{0} \frac{2x}{|1 - x^{2} |}$,
где $\omega_{0} = 1/ \sqrt{LC}$ - собственная частота, $x = \omega / \omega_{0}$ - относительная частота колебаний. Зависимость амплитуды тока от относительной частоты для этого случая изображена на рисунке.
Заметим, что теоретически ток увеличивается без предела, когда $\omega$ приближаются к $\omega_{0}$, но практически источник не будет способен создать такой ток. В любом случае реальные катушки индуктивности и провода имеют ненулевое сопротивление, и пик на рисунке имеет конечную величину.
Подобным образом рассчитаем импеданс схемы, представленой в условии задачи на рисунке:
$Z = \frac{ i \omega L \frac{1}{ i \omega C}}{i \omega L + \frac{1}{i \omega C} } + \frac{i \omega L \frac{1}{ i \omega C} }{ i \omega L + \frac{1}{i \omega C} }$.
Откуда следует
$|Z| = \frac{2 \omega L}{|1 - \omega^{2}LC |}, |I| = \frac{CU_{0} \omega_{0} |1 - x^{2} | }{2x}$.
Зависимость амплитуды тока от относительной частоты в этом случае изображена на рисунке. Заметим, что при $\omega = \omega_{0}$ схема имеет бесконечный импеданс, и ток через нее не идет.
Интересно также, что зависимости амплитуды тока на рисунках - взаимно обратные функции.
б) Катушки индуктивностью $L, 2L, L/2$ и конденсаторы емкостью $C, 2C, C/2$, полученные из одинаковых компонентов при их последовательном или параллельном соединении, широко используются для того, чтобы конструировать цепи, настроенные на разные резонансные частоты. В данном случае - на резонансные частоты $\omega_{0} , \omega_{0} /2 , 2 \omega_{0} , \omega_{0} / \sqrt{2} , \sqrt{2} \omega_{0}$. Как показано на рисунке, для двух из них имеются два варианта.
а) Нарисуйте качественно график зависимости амплитудного значения тока, который идет от источника в цепях, показанных на рисунках, от $x = \frac{ \omega }{ \omega_{0}}$, где $\omega = \frac{1}{ \sqrt{LC}}$.
6) Используя три или больше компонентов, показанных на рисунках, постройте пять новых цепей, в каждой из которых будет наблюдаться резонанс токов на различных частотах (максимальный по амплитуде ток, потребляемый от источника при некоторой частоте).
Решение:
а) Такие цепи, трудоемкие для анализа с помощью дифференциальных уравнений, становятся простыми, если использовать комплексные импедансы. Импеданс катушки индуктивностью $L$ при угловой частоте $\omega$ равен $i \omega L$, импенданс конденсатора емкостью $C$ равен $1/( i \omega C)$. Здесь мнимая единица $i$ равна квадратному корню из -1, т.е. $i^{2} = -1$. Импедансы подчиняются тем же самым правилам, что и сопротивления резисторов, а именно: при последовательном соединении общее сопротивление равно
$R = R_{1} + R_{2}$,
при параллельном соединении общее сопротивление равно
$R = \frac{R_{1}R_{2} }{R_{1} + R_{2} }$.
Для схемы, представленной в условии задачи на рисунке, полный импеданс $Z$ записывается в виде
$Z = \frac{i \omega L \cdot i \omega L}{ i \omega L + i \omega L} + \frac{ \frac{1}{i \omega C} \frac{1}{i \omega C} }{ \frac{1}{i \omega C} + \frac{1}{i \omega C} } = \frac{i \omega L}{2} + \frac{1}{2 i \omega C} = \frac{1 - \omega^{2}LC }{2 i \omega C}$.
Величина тока, идущего от источника, равна
$|I| = \frac{|U_{0} |}{|Z|} = \frac{U_{0} |2 i \omega C| }{|1 - \omega^{2}LC |} = CU_{0} \omega_{0} \frac{2x}{|1 - x^{2} |}$,
где $\omega_{0} = 1/ \sqrt{LC}$ - собственная частота, $x = \omega / \omega_{0}$ - относительная частота колебаний. Зависимость амплитуды тока от относительной частоты для этого случая изображена на рисунке.
Заметим, что теоретически ток увеличивается без предела, когда $\omega$ приближаются к $\omega_{0}$, но практически источник не будет способен создать такой ток. В любом случае реальные катушки индуктивности и провода имеют ненулевое сопротивление, и пик на рисунке имеет конечную величину.
Подобным образом рассчитаем импеданс схемы, представленой в условии задачи на рисунке:
$Z = \frac{ i \omega L \frac{1}{ i \omega C}}{i \omega L + \frac{1}{i \omega C} } + \frac{i \omega L \frac{1}{ i \omega C} }{ i \omega L + \frac{1}{i \omega C} }$.
Откуда следует
$|Z| = \frac{2 \omega L}{|1 - \omega^{2}LC |}, |I| = \frac{CU_{0} \omega_{0} |1 - x^{2} | }{2x}$.
Зависимость амплитуды тока от относительной частоты в этом случае изображена на рисунке. Заметим, что при $\omega = \omega_{0}$ схема имеет бесконечный импеданс, и ток через нее не идет.
Интересно также, что зависимости амплитуды тока на рисунках - взаимно обратные функции.
б) Катушки индуктивностью $L, 2L, L/2$ и конденсаторы емкостью $C, 2C, C/2$, полученные из одинаковых компонентов при их последовательном или параллельном соединении, широко используются для того, чтобы конструировать цепи, настроенные на разные резонансные частоты. В данном случае - на резонансные частоты $\omega_{0} , \omega_{0} /2 , 2 \omega_{0} , \omega_{0} / \sqrt{2} , \sqrt{2} \omega_{0}$. Как показано на рисунке, для двух из них имеются два варианта.
