Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10447
2019-05-11 
Резистор и катушка индуктивности последовательно соединены с батареей через выключатель (рис.).Сначала цепь разомкнута, а в некоторый момент ключ замыкается.
а) Чему будет равен ток, когда магнитная энергия в катушке достигнет максимума?
б) Когда будет наибольшей скорость нарастания джоулева тепла в резисторе?
Решение:
а) Скорость увеличения магнитной энергии ($W_{м} = LI^{2}/2$) равна разности между мощностью батареи и мощностью рассеяния тепла в резисторе:
$\frac{dW_{м} }{dt} = UI - I^{2}R = - R \left ( I - \frac{U}{2R} \right )^{2} + \frac{U^{2} }{4R} \leq \frac{U^{2} }{4R}$.
Ясно, что скорость увеличения энергии максимальна, когда
$I = \frac{U}{2R}$.
б) По второму закону Кирхгофа,
$U = IR + L \frac{dI}{dt}$.
Из этого уравнения получаем зависимость тока от времени:
$I(t) = \frac{U}{R} (1 - e^{-Rt/L} )$,
график которой представлен на рисунке. Мощность $P(t)$, рассеянная в резисторе в виде тепла, равна
$P(t) = I^{2}R = \frac{U^{2} }{R} (1 - e^{-Rt/L} )^{2}$.
На рисунке показан график $P(t)$, из которого видно, что мощность увеличивается монотонно. Скорость изменения мощности сначала нарастает, в какой-то момент достигает максимума и затем уменьшается монотонно до нуля, как показано на рисунке.
Самая большая скорость изменения энергии, как для катушки индуктивности, так и для резистора, имеет место тогда, когда $I^{2}$ изменяется очень быстро. В пункте а) мы нашли, что это происходит, при $I = U/(2R)$. Подстановка этого значения в выражение для мощности позволяет найти соответствующий момент времени:
$t = \frac{L}{R} ln 2 \approx 0,69 \frac{L}{R}$.
Примечание. Скорость получения энергии от батареи равна $UI$, и, таким образом, она пропорциональна току, который монотонно увеличивается.
Самое быстрое увеличение тока имеет место при t = 0, но самое быстрое увеличение квадрата тока (который пропорционален магнитной энергии катушки) происходит позже.
Просто для забавы вы можете решить «зеркально-симметричную» задачу, в которой катушка индуктивности заменена конденсатором.
Резистор и катушка индуктивности последовательно соединены с батареей через выключатель (рис.).Сначала цепь разомкнута, а в некоторый момент ключ замыкается.
а) Чему будет равен ток, когда магнитная энергия в катушке достигнет максимума?
б) Когда будет наибольшей скорость нарастания джоулева тепла в резисторе?
Решение:
а) Скорость увеличения магнитной энергии ($W_{м} = LI^{2}/2$) равна разности между мощностью батареи и мощностью рассеяния тепла в резисторе:
$\frac{dW_{м} }{dt} = UI - I^{2}R = - R \left ( I - \frac{U}{2R} \right )^{2} + \frac{U^{2} }{4R} \leq \frac{U^{2} }{4R}$.
Ясно, что скорость увеличения энергии максимальна, когда
$I = \frac{U}{2R}$.
б) По второму закону Кирхгофа,
$U = IR + L \frac{dI}{dt}$.
Из этого уравнения получаем зависимость тока от времени:
$I(t) = \frac{U}{R} (1 - e^{-Rt/L} )$,
график которой представлен на рисунке. Мощность $P(t)$, рассеянная в резисторе в виде тепла, равна
$P(t) = I^{2}R = \frac{U^{2} }{R} (1 - e^{-Rt/L} )^{2}$.
На рисунке показан график $P(t)$, из которого видно, что мощность увеличивается монотонно. Скорость изменения мощности сначала нарастает, в какой-то момент достигает максимума и затем уменьшается монотонно до нуля, как показано на рисунке.
Самая большая скорость изменения энергии, как для катушки индуктивности, так и для резистора, имеет место тогда, когда $I^{2}$ изменяется очень быстро. В пункте а) мы нашли, что это происходит, при $I = U/(2R)$. Подстановка этого значения в выражение для мощности позволяет найти соответствующий момент времени:
$t = \frac{L}{R} ln 2 \approx 0,69 \frac{L}{R}$.
Примечание. Скорость получения энергии от батареи равна $UI$, и, таким образом, она пропорциональна току, который монотонно увеличивается.
Самое быстрое увеличение тока имеет место при t = 0, но самое быстрое увеличение квадрата тока (который пропорционален магнитной энергии катушки) происходит позже.
Просто для забавы вы можете решить «зеркально-симметричную» задачу, в которой катушка индуктивности заменена конденсатором.
