Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10446
2019-05-11 
Пара проводящих рельсов, расстояние между которыми $l$, образуют горизонтальную плоскость (рис.). По нормали к плоскости действует однородное постоянное магнитное поле с индукцией $B$. Поперек рельсов лежит проводящий стержень сопротивлением $R$ и массой $m$. Конденсатор емкостью $C$, заряженный до напряжения $U_{0}$, подключают к рельсам.
а) Определите максимальную скорость стержня.
б) При каких условиях эффективность (КПД) этого «электромагнитного орудия» будет максимальной?
Трением скольжения, электрическим сопротивлением рельсов и индуктивностью системы пренебречь.
Решение:
а) В момент, когда подключается конденсатор, в стержне возникает ток $I = U_{0}/R$, и на стержень действует сила $F = BIl$, которая сообщает ему начальное ускорение $a = BlU_{0}/(mR)$. Заряд $Q$ на конденсаторе и напряжение на нем начинают уменьшаться. В соответствии с законом Ленца, ЭДС самоиндукции, возникающая в разгоняющемся стержне, уменьшает ток в стержне, но при этом сама ЭДС индукции увеличивается. Это приведет к тому, что в некоторый момент суммарное напряжение в цепи окажется равным нулю. Тогда стержень будет иметь максимальную скорость $v_{max}$, которая определяется выражением
$Blv_{max} = \frac{Q_{max} }{C}$.
Запишем уравнение движения стержня:
$m \frac{dv}{dt} = ma = BlI = - Bl \frac{dQ}{dt}$,
где ускорение стержня и ток через него выражены в виде производных по времени от скорости ($dv/dt$) и заряда ($dQ/dt$) соответственно. Пропорциональность между двумя скоростями. изменения не зависит от времени. Скорость стержня увеличивается от нуля до $v_{max}$, пока заряд на конденсаторе уменьшается от $Q_{0} = CU_{0}$ до $Q_{min}$. Поэтому уравнение движения можно записать в виде
$mv_{max} = Bl (Q_{0} - Q_{min})$.
Конечную скорость $v_{max}$ и остаточный заряд $Q_{min}$ можно рассчитать, используя полученные ранее уравнения. Окончательно,
$v_{max} = \frac{BlCU_{0} }{m + CB^{2}l^{2} }, Q_{min} = \frac{C^{2}B^{2}l^{2}U_{0} }{m + CB^{2}l^{2} }$.
б) Полученные выше соотношения показывают, что максимальная скорость стержня пропорциональна начальному напряжению $U_{0}$ на конденсаторе. Таким образом, конечная кинетическая энергия стержня пропорциональна $U_{0}^{2}$ (для заданных значений $C$ и $m$), т.е. пропорциональна начальной энергии системы. Коэффициент пропорциональности можно оценить как эффективность $\eta$ (КПД) системы, рассматриваемой в качестве электромагнитной пушки, и записать в виде
$\eta = \frac{mv_{max}^{2}/2 }{CU_{0}^{2}/2 } = \frac{1}{ \frac{ \sqrt{m/C} }{ Bl} + \frac{Bl}{ \sqrt{m/C} } }$.
Произведение двух членов в скобках равно 1, и из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим следует, что сумма слагаемых по крайней мере равна 2. Это означает, что эффективность $\eta$ электромагнитной пушки не может быть больше чем 25%.
Примечание. Из условия для максимальной эффективности можно найти, что на конденсаторе осталась только половина начального заряда. Таким образом, в конденсаторе осталась только одна четверть его начальной энергии, еще одна четверть преобразовалась в кинетическую энергию стержня, а половина начальной энергии рассеялась в стержне в виде тепла.
Пара проводящих рельсов, расстояние между которыми $l$, образуют горизонтальную плоскость (рис.). По нормали к плоскости действует однородное постоянное магнитное поле с индукцией $B$. Поперек рельсов лежит проводящий стержень сопротивлением $R$ и массой $m$. Конденсатор емкостью $C$, заряженный до напряжения $U_{0}$, подключают к рельсам.
а) Определите максимальную скорость стержня.
б) При каких условиях эффективность (КПД) этого «электромагнитного орудия» будет максимальной?
Трением скольжения, электрическим сопротивлением рельсов и индуктивностью системы пренебречь.
Решение:
а) В момент, когда подключается конденсатор, в стержне возникает ток $I = U_{0}/R$, и на стержень действует сила $F = BIl$, которая сообщает ему начальное ускорение $a = BlU_{0}/(mR)$. Заряд $Q$ на конденсаторе и напряжение на нем начинают уменьшаться. В соответствии с законом Ленца, ЭДС самоиндукции, возникающая в разгоняющемся стержне, уменьшает ток в стержне, но при этом сама ЭДС индукции увеличивается. Это приведет к тому, что в некоторый момент суммарное напряжение в цепи окажется равным нулю. Тогда стержень будет иметь максимальную скорость $v_{max}$, которая определяется выражением
$Blv_{max} = \frac{Q_{max} }{C}$.
Запишем уравнение движения стержня:
$m \frac{dv}{dt} = ma = BlI = - Bl \frac{dQ}{dt}$,
где ускорение стержня и ток через него выражены в виде производных по времени от скорости ($dv/dt$) и заряда ($dQ/dt$) соответственно. Пропорциональность между двумя скоростями. изменения не зависит от времени. Скорость стержня увеличивается от нуля до $v_{max}$, пока заряд на конденсаторе уменьшается от $Q_{0} = CU_{0}$ до $Q_{min}$. Поэтому уравнение движения можно записать в виде
$mv_{max} = Bl (Q_{0} - Q_{min})$.
Конечную скорость $v_{max}$ и остаточный заряд $Q_{min}$ можно рассчитать, используя полученные ранее уравнения. Окончательно,
$v_{max} = \frac{BlCU_{0} }{m + CB^{2}l^{2} }, Q_{min} = \frac{C^{2}B^{2}l^{2}U_{0} }{m + CB^{2}l^{2} }$.
б) Полученные выше соотношения показывают, что максимальная скорость стержня пропорциональна начальному напряжению $U_{0}$ на конденсаторе. Таким образом, конечная кинетическая энергия стержня пропорциональна $U_{0}^{2}$ (для заданных значений $C$ и $m$), т.е. пропорциональна начальной энергии системы. Коэффициент пропорциональности можно оценить как эффективность $\eta$ (КПД) системы, рассматриваемой в качестве электромагнитной пушки, и записать в виде
$\eta = \frac{mv_{max}^{2}/2 }{CU_{0}^{2}/2 } = \frac{1}{ \frac{ \sqrt{m/C} }{ Bl} + \frac{Bl}{ \sqrt{m/C} } }$.
Произведение двух членов в скобках равно 1, и из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим следует, что сумма слагаемых по крайней мере равна 2. Это означает, что эффективность $\eta$ электромагнитной пушки не может быть больше чем 25%.
Примечание. Из условия для максимальной эффективности можно найти, что на конденсаторе осталась только половина начального заряда. Таким образом, в конденсаторе осталась только одна четверть его начальной энергии, еще одна четверть преобразовалась в кинетическую энергию стержня, а половина начальной энергии рассеялась в стержне в виде тепла.
