Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10445
2019-05-11 
Два проводящих рельса образуют наклонную плоскость с углом наклона $\alpha$ к горизонту (рис.). Перпендикулярно этой плоскости действует однородное постоянное магнитное поле с индукцией $B$. Проводящий стержень массой $m$ может скользить вниз по рельсам без трения, замыкая их и сохраняя свое горизонтальное положение. Как движется стержень после того, как его отпустили, если цепь, образованная стержнем и рельсами, замкнута:
а) резистором сопротивлением $R$;
б) конденсатором емкостью $C$;
в) катушкой индуктивностью $L$?
Решение:
Пусть стержень перемещается по наклонной плоскости и в некоторый момент имеет скорость $v$ и ускорение $a$, в то время как в нем течет ток $I$. Благодаря наличию магнитного поля стержень тормозится. Мы можем написать уравнение движения стержня:
$ma = mg \sin \alpha - BlI$.
Это уравнение одно и то же для всех трех случаев. Различия возникают из-за разных соотношений между индуцированными напряжениями и токами в стержне.
а) Если цепи замкнута резистором с омическим сопротивлением $R$, то ток $I$ и индуцированное напряжение $U = Blv$ связаны соотношением
$I = \frac{U}{R} = \frac{Blv}{R}$.
Это означает, что сила торможения увеличивается со скоростью, поэтому ускорение стержня со временем уменьшается, и в конечном счете стержень движется с постоянной скоростью. Эту конечную максимальную скорость $v_{мах}$ можно найти из уравнения движения, если положить ускорение равным нулю, откуда получаем
$v_{мах} = \frac{mgR \sin \alpha}{B^{2}l^{2} }$.
б) Пусть теперь цепь замкнута конденсатором емкостью $C$. Заряд на конденсаторе определяется индуцированным напряжением:
$Q = CU = CBlv$.
Обратите внимание на то, что ток, текущий через стержень равен производной по времени от заряда:
$I = \frac{dQ}{dt} = C \frac{dU}{dt} = CBl \frac{dv}{dt} = CBla$.
Другими словами, ток прямо пропорционален ускорению стержня. Если полученное выражение для тока подставить в уравнение движения, то найдем ускорение стержня:
$a = \frac{mg \sin \alpha}{m + CB^{2}l^{2} }$.
При этом скорость стержня (а также заряд на конденсаторе) прямо пропорциональна времени.
в) В случае если цепь замкнута катушкой индуктивностью $L$, соотношение между индуцированным напряжением и током будет иметь вид
$L \frac{dI}{dt} = Blv = Bl \frac{dx}{dt}$.
Обратим внимание на то, что в начале движения ток $I$ и координата $x$ равны нулю, поэтому можно записать
$LI = Blx$.
Подставим найденное отсюда значение тока в уравнение движения:
$ma = mg \sin a - \frac{B^{2}l^{2} }{L} x$.
Сила, действующая на стержень, равна сумме постоянного положительного члена и отрицательного члена, пропорционального координате $x$. Точно такое же уравнение описывает колебания тела, подвешенного на пружине. Таким образом, наш стержень совершает гармонические колебания относительно положения равновесия, имеющего координату
$x_{0} = \frac{mgL \sin \alpha}{B^{2}l^{2} }$.
Амплитуда колебаний тоже равна $x_{0}$, а зависимость смещения стержня от времени выражается так:
$x(t) = x_{0} (1 - \cos \omega t)$,
где частота колебаний равна
$\omega = \frac{Bl}{ \sqrt{mL} }$.
Два проводящих рельса образуют наклонную плоскость с углом наклона $\alpha$ к горизонту (рис.). Перпендикулярно этой плоскости действует однородное постоянное магнитное поле с индукцией $B$. Проводящий стержень массой $m$ может скользить вниз по рельсам без трения, замыкая их и сохраняя свое горизонтальное положение. Как движется стержень после того, как его отпустили, если цепь, образованная стержнем и рельсами, замкнута:
а) резистором сопротивлением $R$;
б) конденсатором емкостью $C$;
в) катушкой индуктивностью $L$?
Решение:
Пусть стержень перемещается по наклонной плоскости и в некоторый момент имеет скорость $v$ и ускорение $a$, в то время как в нем течет ток $I$. Благодаря наличию магнитного поля стержень тормозится. Мы можем написать уравнение движения стержня:
$ma = mg \sin \alpha - BlI$.
Это уравнение одно и то же для всех трех случаев. Различия возникают из-за разных соотношений между индуцированными напряжениями и токами в стержне.
а) Если цепи замкнута резистором с омическим сопротивлением $R$, то ток $I$ и индуцированное напряжение $U = Blv$ связаны соотношением
$I = \frac{U}{R} = \frac{Blv}{R}$.
Это означает, что сила торможения увеличивается со скоростью, поэтому ускорение стержня со временем уменьшается, и в конечном счете стержень движется с постоянной скоростью. Эту конечную максимальную скорость $v_{мах}$ можно найти из уравнения движения, если положить ускорение равным нулю, откуда получаем
$v_{мах} = \frac{mgR \sin \alpha}{B^{2}l^{2} }$.
б) Пусть теперь цепь замкнута конденсатором емкостью $C$. Заряд на конденсаторе определяется индуцированным напряжением:
$Q = CU = CBlv$.
Обратите внимание на то, что ток, текущий через стержень равен производной по времени от заряда:
$I = \frac{dQ}{dt} = C \frac{dU}{dt} = CBl \frac{dv}{dt} = CBla$.
Другими словами, ток прямо пропорционален ускорению стержня. Если полученное выражение для тока подставить в уравнение движения, то найдем ускорение стержня:
$a = \frac{mg \sin \alpha}{m + CB^{2}l^{2} }$.
При этом скорость стержня (а также заряд на конденсаторе) прямо пропорциональна времени.
в) В случае если цепь замкнута катушкой индуктивностью $L$, соотношение между индуцированным напряжением и током будет иметь вид
$L \frac{dI}{dt} = Blv = Bl \frac{dx}{dt}$.
Обратим внимание на то, что в начале движения ток $I$ и координата $x$ равны нулю, поэтому можно записать
$LI = Blx$.
Подставим найденное отсюда значение тока в уравнение движения:
$ma = mg \sin a - \frac{B^{2}l^{2} }{L} x$.
Сила, действующая на стержень, равна сумме постоянного положительного члена и отрицательного члена, пропорционального координате $x$. Точно такое же уравнение описывает колебания тела, подвешенного на пружине. Таким образом, наш стержень совершает гармонические колебания относительно положения равновесия, имеющего координату
$x_{0} = \frac{mgL \sin \alpha}{B^{2}l^{2} }$.
Амплитуда колебаний тоже равна $x_{0}$, а зависимость смещения стержня от времени выражается так:
$x(t) = x_{0} (1 - \cos \omega t)$,
где частота колебаний равна
$\omega = \frac{Bl}{ \sqrt{mL} }$.
