Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10442
2019-05-11 
Все ребра куба представляют собой резисторы сопротивлением 1 Ом каждый. Каково эквивалентное сопротивление куба между двумя вершинами одной из его пространственных диагоналей? Исследуйте также одно-, двух- и четырехмерный кубы. Найдите общую формулу для случая n-мерного куба.
Решение:
Пусть ток $I$ втекает в куб в вершине А и вытекает из вершины В, находящейся на другом конце пространственной диагонали куба (рис.).
Симметрия схемы приводит к тому, что токи, текущие через каждый из трех резисторов, которые подсоединены в точках А и В, равны $I/3$, и, следовательно, напряжения на этих резисторах одинаковы. Таким образом, наборы точек, обозначенных на рисунке буквами О и X, находятся под одинаковыми потенциалами, т.е. точки каждого набора могут быть соединены вместе без нарушения «работы» схемы.
Нарисуем новую эквивалентную схему (рис.), которая существенно проще исходной. Эквивалентное сопротивление можно теперь рассчитать в уме. Действительно, если все резисторы имеют сопротивления по 1 Ом, то эквивалентное сопротивление равно 5/6 Ом.
Одномерный куб - это просто один резистор, сопротивление которого равно 1 Ом. Двумерный куб - это квадрат. Два резистора исходят из одного конца диагонали, и два резистора сходятся в противоположном конце той же самой диагонали. Если ток течет через квадрат, конечные точки другой диагонали эквипотенциальны, поэтому две группы двух параллельных резисторов связаны последовательно. Таким образом, для квадрата эквивалентное сопротивление снова равно 1 Ом. Как мы уже видели, для трехмерного куба три резистора исходят от каждого конца диагонали, а оставшиеся шесть резисторов присоединяются к эквипотенциальным точкам. Четырехмерный куб может быть получен параллельным смещением трехмерного куба в направлении четвертого измерения, сопровождаемым соединением соответствующих точек. Четырехмерный куб поэтому имеет 12 + 12 + 8 = 32 грани (12 для каждого из двух нормальных кубов плюс 8 для присоединения к соответствующим углам). Искаженную проекцию такого куба можно сделать для исследовательских целей, заменяя смещение увеличением. Рисунок показывает одну диагональ АВ из восьми возможных.
Для четырехмерного куба из любой вершины выходят четыре ребра, и их конечные точки эквипотенциальны. То же самое справедливо для другого конца диагонали куба. Самый короткий путь от одной из этих эквипотенциальных поверхностей к другой - через любые два резистора из 24 оставшихся. Это означает, что внутренние точки этих 24 резисторов также эквипотенциальны, т.е. две группы по 12 резисторов соединены параллельно, а сами группы соединены последовательно. Развернутая в плоскости схема показана на рисунке 240; ее эквивалентное сопротивление равно 2/3 Ом.
Примечание. Задача может быть обобщена на n-мерный куб соответствующим выбором и дальнейшим соединением эквипотенциальных точек. Вообще, эквивалентное сопротивление диагонали и-мерно-го куба, сделанного из резисторов сопротивлением 1 Ом, равно $R_{n}$ Ом, где $R_{n}$ задается формулой
$R_{n} = \frac{1}{1 \cdot C_{n}^{1} } + \frac{1}{2 \cdot C_{n}^{2} } + \frac{1}{3 \cdot C_{n}^{3} } + \cdots + \frac{1}{n \cdot C_{n}^{n} }$.
Все ребра куба представляют собой резисторы сопротивлением 1 Ом каждый. Каково эквивалентное сопротивление куба между двумя вершинами одной из его пространственных диагоналей? Исследуйте также одно-, двух- и четырехмерный кубы. Найдите общую формулу для случая n-мерного куба.
Решение:
Пусть ток $I$ втекает в куб в вершине А и вытекает из вершины В, находящейся на другом конце пространственной диагонали куба (рис.).
Симметрия схемы приводит к тому, что токи, текущие через каждый из трех резисторов, которые подсоединены в точках А и В, равны $I/3$, и, следовательно, напряжения на этих резисторах одинаковы. Таким образом, наборы точек, обозначенных на рисунке буквами О и X, находятся под одинаковыми потенциалами, т.е. точки каждого набора могут быть соединены вместе без нарушения «работы» схемы.
Нарисуем новую эквивалентную схему (рис.), которая существенно проще исходной. Эквивалентное сопротивление можно теперь рассчитать в уме. Действительно, если все резисторы имеют сопротивления по 1 Ом, то эквивалентное сопротивление равно 5/6 Ом.
Одномерный куб - это просто один резистор, сопротивление которого равно 1 Ом. Двумерный куб - это квадрат. Два резистора исходят из одного конца диагонали, и два резистора сходятся в противоположном конце той же самой диагонали. Если ток течет через квадрат, конечные точки другой диагонали эквипотенциальны, поэтому две группы двух параллельных резисторов связаны последовательно. Таким образом, для квадрата эквивалентное сопротивление снова равно 1 Ом. Как мы уже видели, для трехмерного куба три резистора исходят от каждого конца диагонали, а оставшиеся шесть резисторов присоединяются к эквипотенциальным точкам. Четырехмерный куб может быть получен параллельным смещением трехмерного куба в направлении четвертого измерения, сопровождаемым соединением соответствующих точек. Четырехмерный куб поэтому имеет 12 + 12 + 8 = 32 грани (12 для каждого из двух нормальных кубов плюс 8 для присоединения к соответствующим углам). Искаженную проекцию такого куба можно сделать для исследовательских целей, заменяя смещение увеличением. Рисунок показывает одну диагональ АВ из восьми возможных.
Для четырехмерного куба из любой вершины выходят четыре ребра, и их конечные точки эквипотенциальны. То же самое справедливо для другого конца диагонали куба. Самый короткий путь от одной из этих эквипотенциальных поверхностей к другой - через любые два резистора из 24 оставшихся. Это означает, что внутренние точки этих 24 резисторов также эквипотенциальны, т.е. две группы по 12 резисторов соединены параллельно, а сами группы соединены последовательно. Развернутая в плоскости схема показана на рисунке 240; ее эквивалентное сопротивление равно 2/3 Ом.
Примечание. Задача может быть обобщена на n-мерный куб соответствующим выбором и дальнейшим соединением эквипотенциальных точек. Вообще, эквивалентное сопротивление диагонали и-мерно-го куба, сделанного из резисторов сопротивлением 1 Ом, равно $R_{n}$ Ом, где $R_{n}$ задается формулой
$R_{n} = \frac{1}{1 \cdot C_{n}^{1} } + \frac{1}{2 \cdot C_{n}^{2} } + \frac{1}{3 \cdot C_{n}^{3} } + \cdots + \frac{1}{n \cdot C_{n}^{n} }$.
