Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1044
2016-09-18 
На горизонтальной плоскости, плавно переходящей в наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha$ с горизонтом, на расстоянии $L$ от наклонной плоскости находится маленькая шайба. Коэффициент трения шайбы о плоскости равен $\mu$, на участке сопряжения плоскостей трение отсутствует. Шайбе толчком сообщают скорость $v$ в сторону наклонной плоскости в направлении, перпендикулярном линии сопряжения плоскостей. На каком расстоянии $l$ от начального положения шайба окончательно остановится, если $tg \alpha > \mu, v > \sqrt{2 \mu gL}$, участок сопряжения по длине много меньше $L$?
Решение:
Понятно, что начальная кинетическая энергия шайбы равна по величине работе, которую совершает сила трения от начала движения шайбы до её полной остановки: $W = |A_{тр}|$. Так как по условию $v > \sqrt{2 \mu gL}$, то шайба в момент достижения наклонной плоскости будет иметь некоторую скорость и поэтому не остановится, а начнёт подниматься по плоскости вверх. С другой стороны, так как $tg \alpha > \mu$, то шайба, остановившись на наклонной плоскости, начнёт соскальзывать по ней обратно. Таким образом, шайба до полной остановки пройдёт расстояние $L$, двигаясь от своего начального положения до наклонной плоскости, затем поднимется по наклонной плоскости на некоторую высоту $h$, спустится с наклонной плоскости и, наконец, пройдёт расстояние $(L — l)$ от наклонной плоскости до своего конечного положения (см. рис.). Поэтому
$W = \frac{mv^{2}}{2} = |A_{тр}| = \mu mgL + 2 \mu mg \cos \alpha \cdot \frac{h}{ \sin \alpha} + \mu mg(L-l)$.
Высота $h$ определяется из условия остановки шайбы:
$\frac{mv^{2}}{2} = \mu mgL + \mu mg \cos \alpha \cdot \frac{h}{ \sin \alpha} + mgh$,
откуда $h = \frac{(v^{2}/(2g)) - \mu L}{1 + \mu ctg \alpha}$. Заметим, что так как $v > \sqrt{2 \mu gL}$, то $h > 0$.
Подставляя выражение для $h$ в предыдущее уравнение, сокращая на $m$ и деля обе части на $\mu g$, получаем:
$\frac{v^{2}}{2 \mu g} = 2L - l + 2 ctg \alpha \cdot \frac{ \frac{v^{2}}{2g} - mu L}{1 + \mu ctg \alpha}$.
Отсюда окончательно имеем
$l = L \frac{2 tg \alpha}{ \mu + tg \alpha} - \frac{v^{2}}{2 \mu g} \cdot \frac{tg \alpha - \mu}{tg \alpha + \mu}$.
На горизонтальной плоскости, плавно переходящей в наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha$ с горизонтом, на расстоянии $L$ от наклонной плоскости находится маленькая шайба. Коэффициент трения шайбы о плоскости равен $\mu$, на участке сопряжения плоскостей трение отсутствует. Шайбе толчком сообщают скорость $v$ в сторону наклонной плоскости в направлении, перпендикулярном линии сопряжения плоскостей. На каком расстоянии $l$ от начального положения шайба окончательно остановится, если $tg \alpha > \mu, v > \sqrt{2 \mu gL}$, участок сопряжения по длине много меньше $L$?
Решение:
Понятно, что начальная кинетическая энергия шайбы равна по величине работе, которую совершает сила трения от начала движения шайбы до её полной остановки: $W = |A_{тр}|$. Так как по условию $v > \sqrt{2 \mu gL}$, то шайба в момент достижения наклонной плоскости будет иметь некоторую скорость и поэтому не остановится, а начнёт подниматься по плоскости вверх. С другой стороны, так как $tg \alpha > \mu$, то шайба, остановившись на наклонной плоскости, начнёт соскальзывать по ней обратно. Таким образом, шайба до полной остановки пройдёт расстояние $L$, двигаясь от своего начального положения до наклонной плоскости, затем поднимется по наклонной плоскости на некоторую высоту $h$, спустится с наклонной плоскости и, наконец, пройдёт расстояние $(L — l)$ от наклонной плоскости до своего конечного положения (см. рис.). Поэтому
$W = \frac{mv^{2}}{2} = |A_{тр}| = \mu mgL + 2 \mu mg \cos \alpha \cdot \frac{h}{ \sin \alpha} + \mu mg(L-l)$.
Высота $h$ определяется из условия остановки шайбы:
$\frac{mv^{2}}{2} = \mu mgL + \mu mg \cos \alpha \cdot \frac{h}{ \sin \alpha} + mgh$,
откуда $h = \frac{(v^{2}/(2g)) - \mu L}{1 + \mu ctg \alpha}$. Заметим, что так как $v > \sqrt{2 \mu gL}$, то $h > 0$.
Подставляя выражение для $h$ в предыдущее уравнение, сокращая на $m$ и деля обе части на $\mu g$, получаем:
$\frac{v^{2}}{2 \mu g} = 2L - l + 2 ctg \alpha \cdot \frac{ \frac{v^{2}}{2g} - mu L}{1 + \mu ctg \alpha}$.
Отсюда окончательно имеем
$l = L \frac{2 tg \alpha}{ \mu + tg \alpha} - \frac{v^{2}}{2 \mu g} \cdot \frac{tg \alpha - \mu}{tg \alpha + \mu}$.
