Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10438
2019-05-11 
Одинаковые резисторы сопротивлением 1 Ом каждый соединены между собой так, что образуют правильный многогранник (куб, тетраэдр, додекаэдр и т.д.). Каково эквивалентное сопротивление между двумя соседними вершинами такого многогранника?
Решение:
Применим принцип суперпозиции для решения задачи. Пусть $x$ - число вершин, т.е. узлов, многогранника, $n$ - число его ребер, встречающихся в узле (например, в случае додекаэдра, двенадцатигранника, $c = 20$ и $n = 3$). Если ток 1 А втекает в один узел и из всех других узлов вытекают токи по $1/(c - 1) А$, то, в силу симметрии, на входе в нашу сеть ток растекается по $n$ резисторам, откуда ток в одном из них, в том числе и в нашем, будет равен $1 /n А$.
Наложим на предыдущее распределение токов такое (независимое) распределение, когда из соседнего узла вытекает ток 1 А. Это возможно тогда, когда во все другие узлы будут втекать токи по $1/(c - 1) А$, включая и первоначальный узел. Опять-таки из соображений симметрии видим, что через наш резистор течет ток $2/n А$, т.е. ток в нем увеличился еще на $1 /n А$. Так как сопротивление нашего резистора равно 1 Ом, то напряжение на этом резисторе равно $U = 2/n В$. Поскольку суммарный ток, текущий через всю нашу цепь, равен $I_{ \Sigma} = 1 А + \frac{1}{c - 1} А = \frac{c}{c - 1} А$, то эквивалентное сопротивление будет равно
$R_{э} = \frac{U}{I_{ \Sigma}} = \frac{2/n В}{c/(c - 1) А } = \frac{2(c - 1)}{nc} Ом$.
Так, для додекаэдра $R_{э} = 19/30 Ом$, для куба $R_{э} =7/12$ Ом;. Подобным образом можно найти сопротивление любой симметричной сетки резисторов.
Одинаковые резисторы сопротивлением 1 Ом каждый соединены между собой так, что образуют правильный многогранник (куб, тетраэдр, додекаэдр и т.д.). Каково эквивалентное сопротивление между двумя соседними вершинами такого многогранника?
Решение:
Применим принцип суперпозиции для решения задачи. Пусть $x$ - число вершин, т.е. узлов, многогранника, $n$ - число его ребер, встречающихся в узле (например, в случае додекаэдра, двенадцатигранника, $c = 20$ и $n = 3$). Если ток 1 А втекает в один узел и из всех других узлов вытекают токи по $1/(c - 1) А$, то, в силу симметрии, на входе в нашу сеть ток растекается по $n$ резисторам, откуда ток в одном из них, в том числе и в нашем, будет равен $1 /n А$.
Наложим на предыдущее распределение токов такое (независимое) распределение, когда из соседнего узла вытекает ток 1 А. Это возможно тогда, когда во все другие узлы будут втекать токи по $1/(c - 1) А$, включая и первоначальный узел. Опять-таки из соображений симметрии видим, что через наш резистор течет ток $2/n А$, т.е. ток в нем увеличился еще на $1 /n А$. Так как сопротивление нашего резистора равно 1 Ом, то напряжение на этом резисторе равно $U = 2/n В$. Поскольку суммарный ток, текущий через всю нашу цепь, равен $I_{ \Sigma} = 1 А + \frac{1}{c - 1} А = \frac{c}{c - 1} А$, то эквивалентное сопротивление будет равно
$R_{э} = \frac{U}{I_{ \Sigma}} = \frac{2/n В}{c/(c - 1) А } = \frac{2(c - 1)}{nc} Ом$.
Так, для додекаэдра $R_{э} = 19/30 Ом$, для куба $R_{э} =7/12$ Ом;. Подобным образом можно найти сопротивление любой симметричной сетки резисторов.
