Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10436
2019-05-11 
Каждый резистор в цепи, изображенной на рисунке, имеет сопротивление 1 Ом. Через резистор, расположенный справа, течет ток 1 А. Какова разность потенциалов $U$ на входных клеммах цепи? Каково эквивалентное сопротивление цепи? Как изменится эквивалентное сопротивление цепи, если к ней подсоединить еще один или два резистора? Сравните этот результат с эквивалентным сопротивлением бесконечной цепи.
Решение:
Расставим токи в резисторах, начиная с последнего элемента в цепочке (рис.). Так как ток 1А течет через первый резистор, такой же ток должен течь и через второй, таким образом, разность потенциалов на каждом из этих резисторов 1 В. Как следствие, разность потенциалов на третьем резисторе равна 1 В + 1 В = 2 В, и ток, текущий через него, должен быть 2 А. Ток, текущий через следующий резистор, равен 1 А + 2 А = 3 А. Ток в пятом резисторе можно определить, используя разность потенциалов 2 В + 3 В = 5 В на резисторах с токами 2 А и 3 А, и т.д., как показано на рисунке.
Легко видеть, что наша цепочка резисторов построена, начиная с последнего элемента, подсоединением элементов поочередно последовательно и параллельно. Сумма токов, текущих через два предыдущих резистора, течет через следующий резистор ряда - первый закон Кирхгофа. Следующий элемент, подключенный параллельно, создает новый электрический контур в цепочке, и поэтому разность потенциалов на этом резисторе равна сумме разностей потенциалов на двух предыдущих -второй закон Кирхгофа. Таким образом, в этой так называемой лестничной схеме законы Кирхгофа позволяют определить токи и напряжения для каждого резистора.
Заметим, что числовые значения токов (или разностей потенциалов) - числа ряда Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. Разность потенциалов на двух последних резисторах равна 21 В + 13 В = 34 В - это и есть разность потенциалов на входе схемы. Так как общий ток в цепи равен 21 А, то эквивалентное сопротивление схемы будет 34 В/21 А = 1,61905 Ом.
Если, не изменяя входное напряжение 34 В, подсоединить еще один элемент слева к цепи параллельно входу, тогда полный ток увеличивается до 21 А + 34 А = 55 А. В этом случае эквивалентное сопротивление будет равно: 34 В/55 А = 0,61818 Ом. Если включить еще один элемент слева последовательно со схемой, то для обеспечения тока через него 55 А напряжение на входе схемы необходимо увеличить до 34 В + 55 В = 89 В. При этом полное сопротивление цепи будет равно 89 В/55 А = 1,61818 Ом.
Если лестничная схема расширяется далее и далее, получается бесконечная цепь. Эквивалентное сопротивление этой цепи можно рассчитать, используя тот факт, что добавление двух дополнительных элементов не изменяет ее сопротивления. Таким образом, целая цепочка может быть заменена одиночным резистором сопротивлением $R$, который является таким, что, если два резистора сопротивлением по 1 Ом каждый подсоединены к ней в комбинации один параллельно, а другой последовательно, эквивалентное сопротивление новой схемы будет также $R$ (рис.). Для этого необходимо выполнить условие
$R = R_{0} + \frac{1}{ \frac{1}{R_{0} } + \frac{1}{R} }$, где $R_{0} = 1 Ом$.
Отсюда получаем квадратное уравнение для определения числового значения $R$:
$R^{2} - R - 1 = 0$.
Положительный корень этого уравнения дает эквивалентное сопротивление для бесконечной цепочки:
$R = \frac{1 + sqrt{5} }{2} = 1,61803 Ом$.
Мы видим, что эквивалентное сопротивление цепочки из восьми - десяти элементов очень близко к сопротивлению бесконечной цепочки. Следовательно, лестничная схема даже с относительно небольшим количеством элементов может рассматриваться как бесконечная.
Примечания, а) На практике нулевые провода открытых электрических сетей питания могут рассматриваться как лестничные цепи; нулевые провода привязаны к полюсам и заземлены, допустим, в каждом десятом полюсе. Такая лестничная схема состоит из двух типов резисторов, но эквивалентное сопротивление бесконечной цепочки можно рассчитать, используя рассмотренный метод.
6) Интересно заметить, что вышеупомянутое квадратное уравнение - это уравнение золотой пропорции, решение которого - золотое сечение: $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,61803 \cdots$. Именно таким получается числовое значение эквивалентного сопротивления бесконечной лестничной схемы.
Наконец, ради эстетического удовольствия, производимого дробями с множественным уровнем, стоит выразить эквивалентное сопротивление бесконечной цепочки, составленной из резисторов сопротивлением 1 Ом. На сей раз элементы рассматриваются по порядку, но не с конца, а с начала, т.е. начиная с левого конца цепочки:
Если в конце формулы точки (...) заменить на 1, то получим эквивалентное сопротивление первоначальной цепочки из восьми элементов.
Каждый резистор в цепи, изображенной на рисунке, имеет сопротивление 1 Ом. Через резистор, расположенный справа, течет ток 1 А. Какова разность потенциалов $U$ на входных клеммах цепи? Каково эквивалентное сопротивление цепи? Как изменится эквивалентное сопротивление цепи, если к ней подсоединить еще один или два резистора? Сравните этот результат с эквивалентным сопротивлением бесконечной цепи.
Решение:
Расставим токи в резисторах, начиная с последнего элемента в цепочке (рис.). Так как ток 1А течет через первый резистор, такой же ток должен течь и через второй, таким образом, разность потенциалов на каждом из этих резисторов 1 В. Как следствие, разность потенциалов на третьем резисторе равна 1 В + 1 В = 2 В, и ток, текущий через него, должен быть 2 А. Ток, текущий через следующий резистор, равен 1 А + 2 А = 3 А. Ток в пятом резисторе можно определить, используя разность потенциалов 2 В + 3 В = 5 В на резисторах с токами 2 А и 3 А, и т.д., как показано на рисунке.
Легко видеть, что наша цепочка резисторов построена, начиная с последнего элемента, подсоединением элементов поочередно последовательно и параллельно. Сумма токов, текущих через два предыдущих резистора, течет через следующий резистор ряда - первый закон Кирхгофа. Следующий элемент, подключенный параллельно, создает новый электрический контур в цепочке, и поэтому разность потенциалов на этом резисторе равна сумме разностей потенциалов на двух предыдущих -второй закон Кирхгофа. Таким образом, в этой так называемой лестничной схеме законы Кирхгофа позволяют определить токи и напряжения для каждого резистора.
Заметим, что числовые значения токов (или разностей потенциалов) - числа ряда Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. Разность потенциалов на двух последних резисторах равна 21 В + 13 В = 34 В - это и есть разность потенциалов на входе схемы. Так как общий ток в цепи равен 21 А, то эквивалентное сопротивление схемы будет 34 В/21 А = 1,61905 Ом.
Если, не изменяя входное напряжение 34 В, подсоединить еще один элемент слева к цепи параллельно входу, тогда полный ток увеличивается до 21 А + 34 А = 55 А. В этом случае эквивалентное сопротивление будет равно: 34 В/55 А = 0,61818 Ом. Если включить еще один элемент слева последовательно со схемой, то для обеспечения тока через него 55 А напряжение на входе схемы необходимо увеличить до 34 В + 55 В = 89 В. При этом полное сопротивление цепи будет равно 89 В/55 А = 1,61818 Ом.
Если лестничная схема расширяется далее и далее, получается бесконечная цепь. Эквивалентное сопротивление этой цепи можно рассчитать, используя тот факт, что добавление двух дополнительных элементов не изменяет ее сопротивления. Таким образом, целая цепочка может быть заменена одиночным резистором сопротивлением $R$, который является таким, что, если два резистора сопротивлением по 1 Ом каждый подсоединены к ней в комбинации один параллельно, а другой последовательно, эквивалентное сопротивление новой схемы будет также $R$ (рис.). Для этого необходимо выполнить условие
$R = R_{0} + \frac{1}{ \frac{1}{R_{0} } + \frac{1}{R} }$, где $R_{0} = 1 Ом$.
Отсюда получаем квадратное уравнение для определения числового значения $R$:
$R^{2} - R - 1 = 0$.
Положительный корень этого уравнения дает эквивалентное сопротивление для бесконечной цепочки:
$R = \frac{1 + sqrt{5} }{2} = 1,61803 Ом$.
Мы видим, что эквивалентное сопротивление цепочки из восьми - десяти элементов очень близко к сопротивлению бесконечной цепочки. Следовательно, лестничная схема даже с относительно небольшим количеством элементов может рассматриваться как бесконечная.
Примечания, а) На практике нулевые провода открытых электрических сетей питания могут рассматриваться как лестничные цепи; нулевые провода привязаны к полюсам и заземлены, допустим, в каждом десятом полюсе. Такая лестничная схема состоит из двух типов резисторов, но эквивалентное сопротивление бесконечной цепочки можно рассчитать, используя рассмотренный метод.
6) Интересно заметить, что вышеупомянутое квадратное уравнение - это уравнение золотой пропорции, решение которого - золотое сечение: $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,61803 \cdots$. Именно таким получается числовое значение эквивалентного сопротивления бесконечной лестничной схемы.
Наконец, ради эстетического удовольствия, производимого дробями с множественным уровнем, стоит выразить эквивалентное сопротивление бесконечной цепочки, составленной из резисторов сопротивлением 1 Ом. На сей раз элементы рассматриваются по порядку, но не с конца, а с начала, т.е. начиная с левого конца цепочки:
Если в конце формулы точки (...) заменить на 1, то получим эквивалентное сопротивление первоначальной цепочки из восьми элементов.
