Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10435
2019-05-11 
Непроводящая пластина с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$ медленно скользит между параллельными пластинами конденсатора, полностью заполняя пространство между ними. Какая сила действует на пластину, если в течение процесса:
а) заряд на пластинах конденсатора постоянен;
6) напряжение на конденсаторе постоянно?
Как диэлектрическая пластина влияет на энергию конденсатора в случаях а) и 6)?
Решение:
а) Пусть $d$ - расстояние между пластинами конденсатора, $S$ - площадь и $l$ - длина пластины конденсатора, $Q$ - заряд конденсатора. Рассмотрим ситуацию, когда длина $x$ диэлектрической пластины уже была вставлена между пластинами конденсатора, как показано на рисунке.
Емкость плоского конденсатора в этом случае можно рассчитать как емкость двух конденсаторов, включенных параллельно, один из которых заполнен диэлектриком, а другой - пустой:
$C = \epsilon_{0} \epsilon \frac{S}{d} \frac{x}{l} + \epsilon_{0} \frac{S}{d} \frac{l - x}{l} = \epsilon_{0} \frac{S}{d} \frac{( \epsilon - 1) x + l}{l}$.
Таким образом, полная емкость конденсатора линейно увеличивается от $\epsilon_{0} (S/d)$ до $\epsilon_{0} \epsilon (S/d)$ при изменении $x$ от 0 до $k$. Так как заряд на пластинах не изменяется, то энергию конденсатора $W$ разумно записать в виде
$W = \frac{Q^{2}}{2C} = \frac{Q^{2}ld}{2 \epsilon_{0}S(( \epsilon - 1)x + l ) }$.
Ясно, что энергия конденсатора уменьшается с увеличением $x$. Это означает, что работа, произведенная при скольжении диэлектрической пластины, отрицательна, т.е. конденсатор втягивает пластину.
Величину втягивающей силы можно рассчитать, приравняв работу соответствующему изменению энергии ($F \Delta x = \Delta W$) и продифференцировав выражение для $W$:
$F = \frac{dW}{dx} = - \frac{( \epsilon - 1)Q^{2}ld }{2 \epsilon_{0}S(( \epsilon - 1) x + l)^{2} }$.
Самая большая сила реализуется при $x = 0$, а при $x = l$ величина силы уменьшается в $\epsilon^{2}$ раз.
Примечание. Как именно электрическое поле втягивает диэлектрик, параллельный пластинам конденсатора? Если электрическое поле между пластинами было однородным и перпендикулярным пластинам и нулевым вне конденсатора (т.е. как обычно), то никакая сила не могла действовать на диэлектрическую пластину. Явление втягивания объясняется кривизной электрического поля, которая неизбежно присутствует на краях пластин конденсатора.
б) Предыдущий результат был бы верен в случае постоянного напряжения, если бы не тот факт, что заряд на конденсаторе изменяется, в соответствии с формулой $Q = CU$, как только диэлектрическую пластину начинают вдвигать между пластинами конденсатора. Подстановка выражения для заряда (который зависит от $x$) в формулу для силы дает
$F = - \frac{ \epsilon_{0}S ( \epsilon - 1) U^{2}}{2ld}$,
т.е. в этом случае сила, действующая на изолированную пластину, постоянна.
Интересное заключение можно сделать из выражения для энергии конденсатора при постоянном напряжении:
$W = \frac{CU^{2}}{2} = \frac{ \epsilon_{0}SU^{2} (( \epsilon - 1)x + l)}{2ld}$.
Формула показывает, что в этом случае энергия конденсатора увеличивается линейно с $x$ и что отношение изменения энергии $\Delta W$ к небольшому смещению $\Delta x$ изолированной пластины равно
$\frac{ \Delta W}{ \Delta x} = \frac{ \epsilon_{0}SU^{2} ( \epsilon - 1)}{2ld}$.
С точностью до знака, эта формула точно такая же, как и формула для силы.
Таким образом, когда диэлектрик вдвигают между пластинами, система работает над ним, т.е. втягивает его, в то время как энергия конденсатора увеличивается. Это возможно, потому что батарея, поддерживающая напряжение конденсатора постоянным, совершает работу. Дело в том, что емкость конденсатора (и его заряд) увеличивается, батарея должна подать на пластины конденсатора дополнительный заряд.
Непроводящая пластина с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$ медленно скользит между параллельными пластинами конденсатора, полностью заполняя пространство между ними. Какая сила действует на пластину, если в течение процесса:
а) заряд на пластинах конденсатора постоянен;
6) напряжение на конденсаторе постоянно?
Как диэлектрическая пластина влияет на энергию конденсатора в случаях а) и 6)?
Решение:
а) Пусть $d$ - расстояние между пластинами конденсатора, $S$ - площадь и $l$ - длина пластины конденсатора, $Q$ - заряд конденсатора. Рассмотрим ситуацию, когда длина $x$ диэлектрической пластины уже была вставлена между пластинами конденсатора, как показано на рисунке.
Емкость плоского конденсатора в этом случае можно рассчитать как емкость двух конденсаторов, включенных параллельно, один из которых заполнен диэлектриком, а другой - пустой:
$C = \epsilon_{0} \epsilon \frac{S}{d} \frac{x}{l} + \epsilon_{0} \frac{S}{d} \frac{l - x}{l} = \epsilon_{0} \frac{S}{d} \frac{( \epsilon - 1) x + l}{l}$.
Таким образом, полная емкость конденсатора линейно увеличивается от $\epsilon_{0} (S/d)$ до $\epsilon_{0} \epsilon (S/d)$ при изменении $x$ от 0 до $k$. Так как заряд на пластинах не изменяется, то энергию конденсатора $W$ разумно записать в виде
$W = \frac{Q^{2}}{2C} = \frac{Q^{2}ld}{2 \epsilon_{0}S(( \epsilon - 1)x + l ) }$.
Ясно, что энергия конденсатора уменьшается с увеличением $x$. Это означает, что работа, произведенная при скольжении диэлектрической пластины, отрицательна, т.е. конденсатор втягивает пластину.
Величину втягивающей силы можно рассчитать, приравняв работу соответствующему изменению энергии ($F \Delta x = \Delta W$) и продифференцировав выражение для $W$:
$F = \frac{dW}{dx} = - \frac{( \epsilon - 1)Q^{2}ld }{2 \epsilon_{0}S(( \epsilon - 1) x + l)^{2} }$.
Самая большая сила реализуется при $x = 0$, а при $x = l$ величина силы уменьшается в $\epsilon^{2}$ раз.
Примечание. Как именно электрическое поле втягивает диэлектрик, параллельный пластинам конденсатора? Если электрическое поле между пластинами было однородным и перпендикулярным пластинам и нулевым вне конденсатора (т.е. как обычно), то никакая сила не могла действовать на диэлектрическую пластину. Явление втягивания объясняется кривизной электрического поля, которая неизбежно присутствует на краях пластин конденсатора.
б) Предыдущий результат был бы верен в случае постоянного напряжения, если бы не тот факт, что заряд на конденсаторе изменяется, в соответствии с формулой $Q = CU$, как только диэлектрическую пластину начинают вдвигать между пластинами конденсатора. Подстановка выражения для заряда (который зависит от $x$) в формулу для силы дает
$F = - \frac{ \epsilon_{0}S ( \epsilon - 1) U^{2}}{2ld}$,
т.е. в этом случае сила, действующая на изолированную пластину, постоянна.
Интересное заключение можно сделать из выражения для энергии конденсатора при постоянном напряжении:
$W = \frac{CU^{2}}{2} = \frac{ \epsilon_{0}SU^{2} (( \epsilon - 1)x + l)}{2ld}$.
Формула показывает, что в этом случае энергия конденсатора увеличивается линейно с $x$ и что отношение изменения энергии $\Delta W$ к небольшому смещению $\Delta x$ изолированной пластины равно
$\frac{ \Delta W}{ \Delta x} = \frac{ \epsilon_{0}SU^{2} ( \epsilon - 1)}{2ld}$.
С точностью до знака, эта формула точно такая же, как и формула для силы.
Таким образом, когда диэлектрик вдвигают между пластинами, система работает над ним, т.е. втягивает его, в то время как энергия конденсатора увеличивается. Это возможно, потому что батарея, поддерживающая напряжение конденсатора постоянным, совершает работу. Дело в том, что емкость конденсатора (и его заряд) увеличивается, батарея должна подать на пластины конденсатора дополнительный заряд.
