Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10433
2019-05-11 
Электрическая батарея состоит из $N$ одинаковых элементов, соединенных последовательно. ЭДС каждого элемента равна $\mathcal{E}$. Является ли справедливым утверждение, что энергию, расходуемую при использовании батареи для зарядки конденсатора до полного напряжения батареи через резистор, можно уменьшить, если зарядку производить в $N$ стадий, т.е. подсоединить конденсатор сначала к одному элементу, затем к двум элементам, затем к трем элементам и т.д. до $N$ элементов, а не сразу к целой батарее в одну стадию?
Решение:
Энергия, в конечном счете запасенная в конденсаторе, равна $C(N \mathcal{E})^{2}/2$ в обоих случаях. Прямое подключение к батарее приводит к потере энергии, равной энергии конденсатора, поскольку работа батареи в этом случае равна $(CN \mathcal{E})(N \mathcal{E}) = C(N \mathcal{E})^{2}$. При зарядке стадиями полная работа, произведенная батареей, равна
$\Delta Q \Sigma ( \Delta U) = (C \mathcal{E}) ( \mathcal{E} + 2 \mathcal{E} + 3 \mathcal{E} + \cdots + N \mathcal{E}) = \frac{1}{2} C \mathcal{E}^{2}N (N + 1)$.
Таким образом, потерянная энергия в этом случае составляет
$\frac{1}{2} C \mathcal{E}^{2} (N(N + 1) - N^{2}) = \frac{1}{2} C \mathcal{E}^{2}N$,
т.е. только $1/N$ от первоначальной потери.
Примечание. Вы можете получить тот же самый результат, рассматривая график, приведенный на рисунке. Треугольник ОАВ представляет энергию конденсатора, а треугольник OAD соответствует энергии, потраченной на зарядку конденсатора за одну стадию. Маленькие заштрихованные треугольники показывают энергию, потраченную при использовании кратного числа (например, $N = 4$) ступеней. Полная площадь заштрихованных треугольников равна $1 /N$ площади треугольника OAD.
Электрическая батарея состоит из $N$ одинаковых элементов, соединенных последовательно. ЭДС каждого элемента равна $\mathcal{E}$. Является ли справедливым утверждение, что энергию, расходуемую при использовании батареи для зарядки конденсатора до полного напряжения батареи через резистор, можно уменьшить, если зарядку производить в $N$ стадий, т.е. подсоединить конденсатор сначала к одному элементу, затем к двум элементам, затем к трем элементам и т.д. до $N$ элементов, а не сразу к целой батарее в одну стадию?
Решение:
Энергия, в конечном счете запасенная в конденсаторе, равна $C(N \mathcal{E})^{2}/2$ в обоих случаях. Прямое подключение к батарее приводит к потере энергии, равной энергии конденсатора, поскольку работа батареи в этом случае равна $(CN \mathcal{E})(N \mathcal{E}) = C(N \mathcal{E})^{2}$. При зарядке стадиями полная работа, произведенная батареей, равна
$\Delta Q \Sigma ( \Delta U) = (C \mathcal{E}) ( \mathcal{E} + 2 \mathcal{E} + 3 \mathcal{E} + \cdots + N \mathcal{E}) = \frac{1}{2} C \mathcal{E}^{2}N (N + 1)$.
Таким образом, потерянная энергия в этом случае составляет
$\frac{1}{2} C \mathcal{E}^{2} (N(N + 1) - N^{2}) = \frac{1}{2} C \mathcal{E}^{2}N$,
т.е. только $1/N$ от первоначальной потери.
Примечание. Вы можете получить тот же самый результат, рассматривая график, приведенный на рисунке. Треугольник ОАВ представляет энергию конденсатора, а треугольник OAD соответствует энергии, потраченной на зарядку конденсатора за одну стадию. Маленькие заштрихованные треугольники показывают энергию, потраченную при использовании кратного числа (например, $N = 4$) ступеней. Полная площадь заштрихованных треугольников равна $1 /N$ площади треугольника OAD.
