Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10432
2019-05-11 
Очень короткий магнит A массой $m$ подвешен на нити длиной $l = 1 м$ в горизонтальном положении. Другой такой же магнит В медленно подносят к магниту А таким образом, что оси магнитов всегда находятся на одном и том же горизонтальном уровне (рис.). Когда расстояние $d$ между магнитами равно 4 см, а магнит A сместился по горизонтали на расстояние $s = 1 см$, он самостоятельно начинает двигаться в сторону магнита В.
а) Зависимость силы взаимодействия между магнитами от расстояния определяется выражением $F_{м} (x) = \pm \frac{K}{x^{n} }$, причем знак зависит от относительной ориентации полюсов магнитов. Используя данные задачи, найдите значение показателя степени $n$.
б) Магнит В помещают на дно стеклянной трубки, расположенной вертикально и запаянной снизу. Сверху в трубку медленно опускают магнит A в такой ориентации, что магниты отталкиваются друг от друга. Внутренний диаметр трубки чуть больше поперечных размеров магнитов и не позволяет им изменять свои ориентации. Найдите расстояние между магнитами в положении равновесия.
Решение:
а) Горизонтальная сила $F(x)$ (измеренная в направлении увеличения $x$, т.е. налево на рисунке в условии задачи), действующая на магнит, равна
$F(x) = - \frac{K}{x^{n} } + \frac{mg(d + s - x)}{l}$,
где $(d + s)$ - расстояние магнита А от магнита В в начальный момент времени. Условие равновесия записывается в виде
$F(x)|_{x=d} = 0$.
Устойчивость равновесия зависит от поведения функции $F(x)$ в окрестности точки $x = d$. Функция может монотонно увеличиваться или уменьшаться. Для устойчивого равновесия производная функции должна быть отрицательной. В неустойчивом случае производная положительна, а в случае нейтрального равновесия она является нулевой, т.е. $F^{ \prime}(x)_{x = d} = 0$. При использовании выражения для силы $F(x)$ последнее выражение можно записать в виде
$\frac{nK}{d^{n + 1}} - \frac{mg}{l} = 0$,
а условие равновесия - в виде
$- \frac{K}{d^{n} } + \frac{mgs}{l} = 0$.
Из этих уравнений получаем
$n = \frac{d}{s} = 4$ и $K = \frac{mgd^{4}s }{l}$.
б) В вертикальной трубке (рис.) сила, действующая на магнит А, равна
$F(x) = + \frac{K}{x^{4} } - mg$.
Равновесное «парение» происходит с магнитами на расстоянии $h$ друг от друга, когда $F(x)|_{x = h} = 0$.
Принимая во внимание результат для $K$, полученный в пункте а), находим
$h = \left ( \frac{K}{mg} \right )^{1/4} = d \left ( \frac{s}{k} \right )^{1/4} = 4 \left ( \frac{1}{100} \right )^{1/4} см \approx 1,3 см$.
Очень короткий магнит A массой $m$ подвешен на нити длиной $l = 1 м$ в горизонтальном положении. Другой такой же магнит В медленно подносят к магниту А таким образом, что оси магнитов всегда находятся на одном и том же горизонтальном уровне (рис.). Когда расстояние $d$ между магнитами равно 4 см, а магнит A сместился по горизонтали на расстояние $s = 1 см$, он самостоятельно начинает двигаться в сторону магнита В.
а) Зависимость силы взаимодействия между магнитами от расстояния определяется выражением $F_{м} (x) = \pm \frac{K}{x^{n} }$, причем знак зависит от относительной ориентации полюсов магнитов. Используя данные задачи, найдите значение показателя степени $n$.
б) Магнит В помещают на дно стеклянной трубки, расположенной вертикально и запаянной снизу. Сверху в трубку медленно опускают магнит A в такой ориентации, что магниты отталкиваются друг от друга. Внутренний диаметр трубки чуть больше поперечных размеров магнитов и не позволяет им изменять свои ориентации. Найдите расстояние между магнитами в положении равновесия.
Решение:
а) Горизонтальная сила $F(x)$ (измеренная в направлении увеличения $x$, т.е. налево на рисунке в условии задачи), действующая на магнит, равна
$F(x) = - \frac{K}{x^{n} } + \frac{mg(d + s - x)}{l}$,
где $(d + s)$ - расстояние магнита А от магнита В в начальный момент времени. Условие равновесия записывается в виде
$F(x)|_{x=d} = 0$.
Устойчивость равновесия зависит от поведения функции $F(x)$ в окрестности точки $x = d$. Функция может монотонно увеличиваться или уменьшаться. Для устойчивого равновесия производная функции должна быть отрицательной. В неустойчивом случае производная положительна, а в случае нейтрального равновесия она является нулевой, т.е. $F^{ \prime}(x)_{x = d} = 0$. При использовании выражения для силы $F(x)$ последнее выражение можно записать в виде
$\frac{nK}{d^{n + 1}} - \frac{mg}{l} = 0$,
а условие равновесия - в виде
$- \frac{K}{d^{n} } + \frac{mgs}{l} = 0$.
Из этих уравнений получаем
$n = \frac{d}{s} = 4$ и $K = \frac{mgd^{4}s }{l}$.
б) В вертикальной трубке (рис.) сила, действующая на магнит А, равна
$F(x) = + \frac{K}{x^{4} } - mg$.
Равновесное «парение» происходит с магнитами на расстоянии $h$ друг от друга, когда $F(x)|_{x = h} = 0$.
Принимая во внимание результат для $K$, полученный в пункте а), находим
$h = \left ( \frac{K}{mg} \right )^{1/4} = d \left ( \frac{s}{k} \right )^{1/4} = 4 \left ( \frac{1}{100} \right )^{1/4} см \approx 1,3 см$.
