Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10430
2019-05-11 
Пластины плоского конденсатора подсоединены к батарее с ЭДС $\mathcal{E}$. Площадь каждой пластины $S$, расстояние между ними $d$. Какую надо совершить работу, чтобы раздвинуть пластины конденсатора до расстояния $2d$? Как изменяется энергия конденсатора в течение этого процесса?
Решение:
Емкость $C$ плоского конденсатора с площадью пластин $S$ определяется по формуле
$C = \frac{ \epsilon_{0}S }{d}$.
Энергию конденсатора, подсоединенного к батарее с напряжением $U$, можно выразить так:
$W = \frac{CU^{2} }{2} = \frac{ \epsilon_{0} SU^{2} }{2d}$.
Если при постоянном напряжении расстояние между пластинами увеличивается от $d$ до $2d$, то емкость и энергия конденсатора уменьшаются до половины их первоначальных значений. Может быть, это неожиданный результат, так как раздвигание пластин конденсатора требует положительной внешней работы и, казалось бы, энергия конденсатора должна увеличиться. Однако, когда заряд $\Delta Q$ уходит с пластин конденсатора, он увеличивает энергию батареи (заряжает батарею) на величину $\Delta QU$. Так как $\Delta Q = \Delta CU$, увеличение энергии батареи ровно в два раза больше уменьшения энергии конденсатора. Увеличение энергии батареи происходит наполовину за счет уменьшения энергии конденсатора и наполовину за счет работы, произведенной по отталкиванию пластин.
Примечание. Вышеупомянутое заявление можно проверить прямым вычислением внешней работы, произведенной по отталкиванию пластин. Сила притяжения, действующая между пластинами плоского конденсатора, равна $F = Q^{2} (2 \epsilon_{0} S)$. Выражая заряд через напряжение и емкость, приходим к выражению
$F = \frac{C^{2}U^{2}}{2 \epsilon_{0}S } = \frac{ \epsilon_{0}SU^{2} }{2d^{2} }$.
{Если расстояние между пластинами в произвольный момент времени обозначить через $x$, то произведенную работу можно рассчитать при помощи интегрирования в пределах от $d$ до $2d$:
$A = \int F(x)dx = \frac{ \epsilon_{0}SU^{2} }{2} \int \frac{1}{x^{2} } dx = \frac{ \epsilon_{0} SU^{2} }{4d}$.
Так что внешняя работа, произведенная по отталкиванию пластин, равна уменьшению энергии конденсатора, а в сумме они дают увеличение энергии батареи.
Пластины плоского конденсатора подсоединены к батарее с ЭДС $\mathcal{E}$. Площадь каждой пластины $S$, расстояние между ними $d$. Какую надо совершить работу, чтобы раздвинуть пластины конденсатора до расстояния $2d$? Как изменяется энергия конденсатора в течение этого процесса?
Решение:
Емкость $C$ плоского конденсатора с площадью пластин $S$ определяется по формуле
$C = \frac{ \epsilon_{0}S }{d}$.
Энергию конденсатора, подсоединенного к батарее с напряжением $U$, можно выразить так:
$W = \frac{CU^{2} }{2} = \frac{ \epsilon_{0} SU^{2} }{2d}$.
Если при постоянном напряжении расстояние между пластинами увеличивается от $d$ до $2d$, то емкость и энергия конденсатора уменьшаются до половины их первоначальных значений. Может быть, это неожиданный результат, так как раздвигание пластин конденсатора требует положительной внешней работы и, казалось бы, энергия конденсатора должна увеличиться. Однако, когда заряд $\Delta Q$ уходит с пластин конденсатора, он увеличивает энергию батареи (заряжает батарею) на величину $\Delta QU$. Так как $\Delta Q = \Delta CU$, увеличение энергии батареи ровно в два раза больше уменьшения энергии конденсатора. Увеличение энергии батареи происходит наполовину за счет уменьшения энергии конденсатора и наполовину за счет работы, произведенной по отталкиванию пластин.
Примечание. Вышеупомянутое заявление можно проверить прямым вычислением внешней работы, произведенной по отталкиванию пластин. Сила притяжения, действующая между пластинами плоского конденсатора, равна $F = Q^{2} (2 \epsilon_{0} S)$. Выражая заряд через напряжение и емкость, приходим к выражению
$F = \frac{C^{2}U^{2}}{2 \epsilon_{0}S } = \frac{ \epsilon_{0}SU^{2} }{2d^{2} }$.
{Если расстояние между пластинами в произвольный момент времени обозначить через $x$, то произведенную работу можно рассчитать при помощи интегрирования в пределах от $d$ до $2d$:
$A = \int F(x)dx = \frac{ \epsilon_{0}SU^{2} }{2} \int \frac{1}{x^{2} } dx = \frac{ \epsilon_{0} SU^{2} }{4d}$.
Так что внешняя работа, произведенная по отталкиванию пластин, равна уменьшению энергии конденсатора, а в сумме они дают увеличение энергии батареи.
