Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10422
2019-05-11 
Представьте себе цилиндрическое тело, которое может двигаться без трения по прямому проводу, параллельному его оси симметрии, как показано на рисунке. Крошечные частицы, перемещающиеся горизонтально со скоростью $v_{0}$, бомбардируют тело равновероятно слева и справа. Столкновения с правым торцом цилиндра абсолютно упругие, в то время как с левым - абсолютно неупругие, хотя частицы и не прилипают к цилиндру после столкновения. Какова скорость цилиндра:
а) спустя длительное время;
б) спустя очень длительное время?
Решение:
а) Вначале частицы, движущиеся справа и упруго отскакивающие рикошетом, передают телу больший импульс, чем те, которые неупруго сталкиваются с ним слева. По этой причине результирующая сила, действующая влево, ускоряет тело. Чем быстрее тело перемещается влево, тем меньше относительная скорость, с которой сталкиваются с ним частицы справа. Для тех же частиц, которые движутся слева, справедливо обратное утверждение. Таким образом, результирующая сила, действующая на тело, уменьшается со временем.
По истечении достаточно большого времени тело начинает двигаться с постоянной скоростью $v_{1}$. Условие такого «равновесия» состоит в том, что за единицу времени частицы передают телу один и тот же импульс как справа, так и слева.
Частицы справа достигают тела с относительной скоростью $v_{0} - v_{1}$ и отскакивают рикошетом с той же самой по величине относительной скоростью. За короткий временной интервал At частицы, находящиеся в пределах расстояния $(v_{0} - v_{1}) \Delta t$, достигают цилиндра, и каждая передает ему импульс, пропорциональный $2(v_{0} - v_{1})$. Таким образом, сила, действующая на тело справа, пропорциональна $2(v_{0} - v_{1})^{2}$. Точно так же частицы, неупруго сталкивающиеся с телом слева и движущиеся с относительной скоростью $(v_{0} + v_{1})$, создают силу, пропорциональную $(v_{0} + v_{1})^{2}$. Условие для определения постоянной скорости имеет вид
$2(v_{0} - v_{1})^{2} = ( v_{0} + v_{1})^{2}$,
откуда
$v_{1} = v_{0} \frac{ \sqrt{2} - 1 }{ \sqrt{2} + 1 } \approx 0,17 v_{0}$.
б) Предположим, что сталкивающиеся частицы - это молекулы газа при некоторой температуре. Если тело продолжает двигаться равномерно в течение очень большого времени, то можно подумать, что мы получили вечный двигатель второго рода, т.е. что создан тепловой двигатель, который непрерывно извлекает энергию из отдельного теплового резервуара. Весь накопленный опыт указывает, что такой двигатель не может быть создан.
Где же ошибка в вышеприведенном рассуждении? Оказывается, не было принято во внимание тепло, выделяющееся при неупругих столкновениях! Частицы, неупруго бомбардирующие левую стенку цилиндра, нагревают его. Если это тепло непрерывно отводится, т.е. тело охлаждается, то движение, описанное в части а), непрерывное. Результат естественный: тепловой двигатель работает между двумя тепловыми резервуарами - газом бомбардирующих частиц и охлаждающей средой.
Однако если тело не охлаждается, то рано или поздно оно нагреется. Молекулы цилиндра со стороны каждой его стенки колеблются со средней скоростью, соответствующей ее температуре, и частицы газа отскакивают от нее иногда при большей скорости, а иногда при меньшей - по сравнению с той, с какой они отскакивали бы от более холодного тела. Но в конце концов цилиндр не сможет больше поглощать тепло от газа с обеих сторон (иначе он нагрелся бы). В этом случае столкновения оказывается одинаково эффективными на обоих торцах цилиндра, и силы с обеих сторон становятся одинаковыми.
Таким образом, спустя очень длительное время, когда тепловое равновесие будет достигнуто, тело должно остановиться.
Представьте себе цилиндрическое тело, которое может двигаться без трения по прямому проводу, параллельному его оси симметрии, как показано на рисунке. Крошечные частицы, перемещающиеся горизонтально со скоростью $v_{0}$, бомбардируют тело равновероятно слева и справа. Столкновения с правым торцом цилиндра абсолютно упругие, в то время как с левым - абсолютно неупругие, хотя частицы и не прилипают к цилиндру после столкновения. Какова скорость цилиндра:
а) спустя длительное время;
б) спустя очень длительное время?
Решение:
а) Вначале частицы, движущиеся справа и упруго отскакивающие рикошетом, передают телу больший импульс, чем те, которые неупруго сталкиваются с ним слева. По этой причине результирующая сила, действующая влево, ускоряет тело. Чем быстрее тело перемещается влево, тем меньше относительная скорость, с которой сталкиваются с ним частицы справа. Для тех же частиц, которые движутся слева, справедливо обратное утверждение. Таким образом, результирующая сила, действующая на тело, уменьшается со временем.
По истечении достаточно большого времени тело начинает двигаться с постоянной скоростью $v_{1}$. Условие такого «равновесия» состоит в том, что за единицу времени частицы передают телу один и тот же импульс как справа, так и слева.
Частицы справа достигают тела с относительной скоростью $v_{0} - v_{1}$ и отскакивают рикошетом с той же самой по величине относительной скоростью. За короткий временной интервал At частицы, находящиеся в пределах расстояния $(v_{0} - v_{1}) \Delta t$, достигают цилиндра, и каждая передает ему импульс, пропорциональный $2(v_{0} - v_{1})$. Таким образом, сила, действующая на тело справа, пропорциональна $2(v_{0} - v_{1})^{2}$. Точно так же частицы, неупруго сталкивающиеся с телом слева и движущиеся с относительной скоростью $(v_{0} + v_{1})$, создают силу, пропорциональную $(v_{0} + v_{1})^{2}$. Условие для определения постоянной скорости имеет вид
$2(v_{0} - v_{1})^{2} = ( v_{0} + v_{1})^{2}$,
откуда
$v_{1} = v_{0} \frac{ \sqrt{2} - 1 }{ \sqrt{2} + 1 } \approx 0,17 v_{0}$.
б) Предположим, что сталкивающиеся частицы - это молекулы газа при некоторой температуре. Если тело продолжает двигаться равномерно в течение очень большого времени, то можно подумать, что мы получили вечный двигатель второго рода, т.е. что создан тепловой двигатель, который непрерывно извлекает энергию из отдельного теплового резервуара. Весь накопленный опыт указывает, что такой двигатель не может быть создан.
Где же ошибка в вышеприведенном рассуждении? Оказывается, не было принято во внимание тепло, выделяющееся при неупругих столкновениях! Частицы, неупруго бомбардирующие левую стенку цилиндра, нагревают его. Если это тепло непрерывно отводится, т.е. тело охлаждается, то движение, описанное в части а), непрерывное. Результат естественный: тепловой двигатель работает между двумя тепловыми резервуарами - газом бомбардирующих частиц и охлаждающей средой.
Однако если тело не охлаждается, то рано или поздно оно нагреется. Молекулы цилиндра со стороны каждой его стенки колеблются со средней скоростью, соответствующей ее температуре, и частицы газа отскакивают от нее иногда при большей скорости, а иногда при меньшей - по сравнению с той, с какой они отскакивали бы от более холодного тела. Но в конце концов цилиндр не сможет больше поглощать тепло от газа с обеих сторон (иначе он нагрелся бы). В этом случае столкновения оказывается одинаково эффективными на обоих торцах цилиндра, и силы с обеих сторон становятся одинаковыми.
Таким образом, спустя очень длительное время, когда тепловое равновесие будет достигнуто, тело должно остановиться.
