Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10415
2019-05-11 
Самый известный гейзер в Йеллоустонском национальном парке - это «Старый Дух». Через каждые 90 минут гейзер «оживает» и в течение четырех минут выбрасывает около 44 тонн пара. Модель этого гейзера можно представить следующим образом (рис.). Глубоко под землей имеется огромная полость, сообщающаяся с атмосферой при помощи узкого вертикального канала. В спокойном состоянии полость и канал заполнены водой. Окружающая горячая земля, благодаря остаточному вулканическому действию, нагревает воду в емкости. В результате вскипания вода в канале частично превращается в пар и вместе с остатками воды выбрасывается в атмосферу. После извержения подземные ручьи наполняют полость и канал до исходного уровня за 20-30 минут. Опять начинается нагрев и т.д. Геологические эксперименты показывают, что подземная температура в этой области увеличивается на 1 К с каждым метром глубины. Определите минимальное расстояние, на котором под поверхностью находится полость. Если считать, что полость расположена на минимально возможной глубине, то каков ее объем?
Решение:
Предположим, что полость расположена на глубине $h$ под поверхностью. Когда канал заполнен водой, давление в полости равно $p = p_{0} + \rho gh$, где $p_{0}$ - атмосферное давление, $\rho$ - плотность воды в канале. Кипение начинается на глубине, где температура такова, что давление насыщенного водяного пара $(Ae^{-L_{м} / (RT)} )$ оказывается равным $p$. Значение молярной теплоты парообразования $L_{м}$ приблизительно равно 40 кДж/моль, а значение универсальной газовой постоянной R составляет $8,3 Дж/(моль \cdot К)$. Используя эти данные и тот факт, что температура кипения воды при атмосферном давлении равна 373 К, можно определить константу $A$: $A = 4,1 \cdot 10^{10} Па$.
Для оценки будем считать, что температура земли у поверхности равна $T_{0} = 290 К$ и увеличивается на один градус на каждый метр глубины $h$ по формуле $T = T_{0} + \alpha h$, где $\alpha = 1 К/м$. Используя равенство давлений, можно записать условие, при котором начинает кипеть вода:
$p_{0} + \rho gh = Ae^{ - \frac{L_{м} }{R(T_{0} + \alpha h ) } }$.
Это трансцендентное уравнение, которое может быть решено численными методами, дает $h \approx 200 м$. Давление на такой глубине равно приблизительно 20 атм при температуре $487 К = = 214^{ \circ} С$. Когда начинается кипение, пар поднимается и с силой выталкивает воду из канала. В результате давление на глубине уменьшается почти до 1 атм. Перегретая вода при $214^{ \circ} С$ начинает сильно кипеть, выбрасывая на поверхность горячую воду и клубы пара. При этом вода в полости быстро остывает до $100^{ \circ} С$. Уменьшение температуры на $\Delta T = 114^{ \circ} С$ освободило избыточную внутреннюю энергию $cm \Delta T$, где $c$ - удельная теплоемкость воды, $m$ - масса воды в полости. Этой энергии достаточно, чтобы образовать пар массой $m_{п} =44 т$:
$cm \Delta T = Lm_{п}$,
где $L = 3,3 \cdot 10^{5} Дж/кг$ - удельная теплота парообразования воды. После подстановки соответствующих данных находим массу $m$ воды в полости: $m = 207 т$. Так как плотность воды при такой высокой температуре равна приблизительно $850 кг/м^{3}$, объем полости получается около $244 м^{3}$
Самый известный гейзер в Йеллоустонском национальном парке - это «Старый Дух». Через каждые 90 минут гейзер «оживает» и в течение четырех минут выбрасывает около 44 тонн пара. Модель этого гейзера можно представить следующим образом (рис.). Глубоко под землей имеется огромная полость, сообщающаяся с атмосферой при помощи узкого вертикального канала. В спокойном состоянии полость и канал заполнены водой. Окружающая горячая земля, благодаря остаточному вулканическому действию, нагревает воду в емкости. В результате вскипания вода в канале частично превращается в пар и вместе с остатками воды выбрасывается в атмосферу. После извержения подземные ручьи наполняют полость и канал до исходного уровня за 20-30 минут. Опять начинается нагрев и т.д. Геологические эксперименты показывают, что подземная температура в этой области увеличивается на 1 К с каждым метром глубины. Определите минимальное расстояние, на котором под поверхностью находится полость. Если считать, что полость расположена на минимально возможной глубине, то каков ее объем?
Решение:
Предположим, что полость расположена на глубине $h$ под поверхностью. Когда канал заполнен водой, давление в полости равно $p = p_{0} + \rho gh$, где $p_{0}$ - атмосферное давление, $\rho$ - плотность воды в канале. Кипение начинается на глубине, где температура такова, что давление насыщенного водяного пара $(Ae^{-L_{м} / (RT)} )$ оказывается равным $p$. Значение молярной теплоты парообразования $L_{м}$ приблизительно равно 40 кДж/моль, а значение универсальной газовой постоянной R составляет $8,3 Дж/(моль \cdot К)$. Используя эти данные и тот факт, что температура кипения воды при атмосферном давлении равна 373 К, можно определить константу $A$: $A = 4,1 \cdot 10^{10} Па$.
Для оценки будем считать, что температура земли у поверхности равна $T_{0} = 290 К$ и увеличивается на один градус на каждый метр глубины $h$ по формуле $T = T_{0} + \alpha h$, где $\alpha = 1 К/м$. Используя равенство давлений, можно записать условие, при котором начинает кипеть вода:
$p_{0} + \rho gh = Ae^{ - \frac{L_{м} }{R(T_{0} + \alpha h ) } }$.
Это трансцендентное уравнение, которое может быть решено численными методами, дает $h \approx 200 м$. Давление на такой глубине равно приблизительно 20 атм при температуре $487 К = = 214^{ \circ} С$. Когда начинается кипение, пар поднимается и с силой выталкивает воду из канала. В результате давление на глубине уменьшается почти до 1 атм. Перегретая вода при $214^{ \circ} С$ начинает сильно кипеть, выбрасывая на поверхность горячую воду и клубы пара. При этом вода в полости быстро остывает до $100^{ \circ} С$. Уменьшение температуры на $\Delta T = 114^{ \circ} С$ освободило избыточную внутреннюю энергию $cm \Delta T$, где $c$ - удельная теплоемкость воды, $m$ - масса воды в полости. Этой энергии достаточно, чтобы образовать пар массой $m_{п} =44 т$:
$cm \Delta T = Lm_{п}$,
где $L = 3,3 \cdot 10^{5} Дж/кг$ - удельная теплота парообразования воды. После подстановки соответствующих данных находим массу $m$ воды в полости: $m = 207 т$. Так как плотность воды при такой высокой температуре равна приблизительно $850 кг/м^{3}$, объем полости получается около $244 м^{3}$
