Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10413
2019-05-11 
Запаянная снизу стеклянная пробирка длиной 152 см удерживается в вертикальном положении. Верхняя половина пробирки заполнена ртутью, нижняя - воздухом. Воздух медленно нагревают. Какое количество теплоты необходимо передать воздуху, чтобы всю ртуть вытеснить из пробирки? Изобразите на графике, как изменяется молярная теплоемкость воздуха в течение этого процесса. Атмосферное давление $p_{0} = 760 мм рт.ст$.
Решение:
На рисунке схематически представлен рассматриваемый процесс вытеснения ртути из пробирки при подведении тепла воздуху, находящемуся в нижней части пробирки.
Считаем воздух двухатомным идеальным газом, поэтому его молярная теплоемкость при постоянном объеме равна
$C_{V} = \frac{5R}{2}$.
По условию задачи высота ртути в пробирке равна $L = 152 см/2 = 76 см$. Это означает, что давление, создаваемое таким столбиком ртути, как раз равно атмосферному давлению:
$p = \rho gL = 76 см рт.ст. = 760 мм рт.ст. = p_{0}$.
Поэтому разумно ввести безразмерные переменную
$\xi = \frac{x}{L}$,
через которую можно выразить все необходимые величины. Действительно, для объема рассматриваемого воздуха имеем
$V = V_{0}(1 + \xi)$.
Кроме того, из условия задачи следует, что давление воздуха всегда определяется высотой оставшейся в трубке ртути. Поэтому для давления можно записать
$p = p_{0}(2 - \xi)$.
Из уравнения Клапейрона-Менделеева, уравнения состояния для идеального газа, в исходном состоянии:
$2p_{0}V_{0} = \nu RT_{0}$.
определяем количество молей воздуха:
$\nu = \frac{2p_{0}V_{0} }{RT_{0} }$.
Тогда уравнение состояния в любой момент процесса:
$pV = \nu RT$
примет вид
$(2 - \xi)(1 + \xi) = \frac{2T}{T_{0} }$,
или
$t = \frac{2 + \xi - \xi^{2} }{2}$,
где $t = T/T_{0}$ - вторая безразмерная переменная. Таким образом, реальная температура $T$ воздуха в процессе равна
$T = T_{0}t$.
Рисунок объясняет некоторые характерные особенности рассматриваемого процесса. В безразмерных переменных $p/p_{0}$ и $V/V_{0}$ график представляет собой отрезок прямой AF. Отметим, что температура в процессе изменяется таким образом, что в конце процесса она снова принимает исходное значение. На графике это иллюстрируется с помощью изотерм для $T_{A} = T_{F} = T_{0}$ и для $T_{B} = (9/8) T_{0}$.
Теперь рассмотрим процесс подвода тепла к воздуху. Из первого начала термодинамики следует
$\Delta Q = \nu C_{V} \Delta T + p \Delta V$,
откуда для нашего случая имеем
$\Delta Q = \frac{2p_{0}V_{0} }{RT_{0} } \frac{5R}{2} T_{0} \Delta T + p_{0} (2 - \xi) V_{0} \Delta \xi = p_{0}V_{0} (5 \Delta t (2 - \xi) \Delta \xi)$.
Поскольку $\Delta t = \frac{(1 - 2 \xi) \Delta \xi}{2}$, то
$\Delta Q = \frac{3}{2} p_{0}V_{0} (3 - 4 \xi) \Delta \xi$.
Это уравнение позволяет определить значение $\xi_{1}$ переменной, начиная с которого уже не требуется тепла для вытеснения ртути:
$\xi_{1} = \frac{3}{4}$, т.е. $x = \frac{3}{4}L$.
На графике это точка D.
Интересно, что при подводе тепла температура сначала увеличивается, а потом уменьшается, хотя тепло еще поступает. Это наступает в тот момент, когда $dt/ d \xi = 0$, т.е. при $\xi_{2} = 1/2$ (на графике это точка В).
Определим теперь, что происходит с теплоемкостью воздуха в нашем квазистатическом процессе. С учетом введенных обозначений и определения теплоемкости С получаем выражение для теплоемкости при любом значении переменной $\xi$:
$C = \frac{ \Delta Q}{ \Delta T} = \frac{1}{T_{0} } \frac{ \Delta Q}{ \Delta \xi} \frac{ \Delta \xi}{ \Delta t} = \frac{1}{T_{0} } p_{}V_{0} \cdot \frac{3}{2} (3 - 4 \xi) \frac{2}{1 - 2 \xi} = 3 \frac{p_{0}V_{0} }{T_{0} } \frac{3 - 4 \xi}{1 - 2 \xi}$.
Это выражение показывает, что теплоемкость в процессе изменяется в широких пределах. На рисунке представлен график зависимости теплоемкости $C$ (деленной на величину $3p_{0}V_{0}/T_{0}$) от переменной $\xi$. Кривая имеет разрыв (сингулярность), который означает, что молярная теплоемкость при $\xi = 1/2$, т.е. при объеме $V = 3V_{0}/2$, стремится к бесконечности. Физически это происходит потому, что в окрестности этой точки изображенный отрезком прямой процесс является хорошей аппроксимацией изотермы, отвечающей максимуму температуры, достигаемой в нашем процессе. Но, как известно, при изотермическом процессе тепло передается, но изменения температуры не происходит, именно поэтому теплоемкость и обращается в бесконечность. Выше указанного значения объема теплоемкость становится отрицательной. Это означает, что, несмотря на полученное тепло, внутренняя энергия системы уменьшается, поскольку работа, производимая расширяющимся газом, больше полученного системой количества теплоты.
Наиболее интересна та часть процесса, которая относится к значениям объема вблизи $V = 7V_{0}/4$, т.е. когда в трубке осталась только четверть начального количества ртути. В этой точке теплоемкость обращается в ноль, что отвечает адиабатическому процессу, когда температура меняется без подвода тепла. В окрестности этой точки наша прямая является касательной к адиабате. Правее этой точки температура уменьшается, но теплоемкость становится положительной, что естественно для процесса охлаждения. Если продолжать сообщать системе тепло, то процесс пойдет дальше не по прямой, а по адиабате. Температура будет падать, но не так, как в случае нашего процесса, происходящего по прямой. Уменьшение внутренней энергии воздуха будет равно работе, производимой им против атмосферного давления во время выталкивания оставшейся ртути вверх с ускорением.
Возвращаясь к исходному вопросу задачи, касающегося нахождения количества теплоты, требуемого для удаления ртути из пробирки, нетрудно заметить, что подвод тепла к системе необходимо осуществлять в интервале значений объема воздуха от $V = V_{0}$ до $V = 7V_{0}/4$. Простой расчет показывает, что работа воздуха, в расчете на моль, при этом составит $39R/32$, в то время как внутренняя энергия системы увеличится, соответственно, на $15R/32$. Отсюда количество теплоты, которое необходимо сообщить v молям воздуха для вытеснения ртути из пробирки, будет равно
$Q = \frac{27}{16} \nu R$.
Запаянная снизу стеклянная пробирка длиной 152 см удерживается в вертикальном положении. Верхняя половина пробирки заполнена ртутью, нижняя - воздухом. Воздух медленно нагревают. Какое количество теплоты необходимо передать воздуху, чтобы всю ртуть вытеснить из пробирки? Изобразите на графике, как изменяется молярная теплоемкость воздуха в течение этого процесса. Атмосферное давление $p_{0} = 760 мм рт.ст$.
Решение:
На рисунке схематически представлен рассматриваемый процесс вытеснения ртути из пробирки при подведении тепла воздуху, находящемуся в нижней части пробирки.
Считаем воздух двухатомным идеальным газом, поэтому его молярная теплоемкость при постоянном объеме равна
$C_{V} = \frac{5R}{2}$.
По условию задачи высота ртути в пробирке равна $L = 152 см/2 = 76 см$. Это означает, что давление, создаваемое таким столбиком ртути, как раз равно атмосферному давлению:
$p = \rho gL = 76 см рт.ст. = 760 мм рт.ст. = p_{0}$.
Поэтому разумно ввести безразмерные переменную
$\xi = \frac{x}{L}$,
через которую можно выразить все необходимые величины. Действительно, для объема рассматриваемого воздуха имеем
$V = V_{0}(1 + \xi)$.
Кроме того, из условия задачи следует, что давление воздуха всегда определяется высотой оставшейся в трубке ртути. Поэтому для давления можно записать
$p = p_{0}(2 - \xi)$.
Из уравнения Клапейрона-Менделеева, уравнения состояния для идеального газа, в исходном состоянии:
$2p_{0}V_{0} = \nu RT_{0}$.
определяем количество молей воздуха:
$\nu = \frac{2p_{0}V_{0} }{RT_{0} }$.
Тогда уравнение состояния в любой момент процесса:
$pV = \nu RT$
примет вид
$(2 - \xi)(1 + \xi) = \frac{2T}{T_{0} }$,
или
$t = \frac{2 + \xi - \xi^{2} }{2}$,
где $t = T/T_{0}$ - вторая безразмерная переменная. Таким образом, реальная температура $T$ воздуха в процессе равна
$T = T_{0}t$.
Рисунок объясняет некоторые характерные особенности рассматриваемого процесса. В безразмерных переменных $p/p_{0}$ и $V/V_{0}$ график представляет собой отрезок прямой AF. Отметим, что температура в процессе изменяется таким образом, что в конце процесса она снова принимает исходное значение. На графике это иллюстрируется с помощью изотерм для $T_{A} = T_{F} = T_{0}$ и для $T_{B} = (9/8) T_{0}$.
Теперь рассмотрим процесс подвода тепла к воздуху. Из первого начала термодинамики следует
$\Delta Q = \nu C_{V} \Delta T + p \Delta V$,
откуда для нашего случая имеем
$\Delta Q = \frac{2p_{0}V_{0} }{RT_{0} } \frac{5R}{2} T_{0} \Delta T + p_{0} (2 - \xi) V_{0} \Delta \xi = p_{0}V_{0} (5 \Delta t (2 - \xi) \Delta \xi)$.
Поскольку $\Delta t = \frac{(1 - 2 \xi) \Delta \xi}{2}$, то
$\Delta Q = \frac{3}{2} p_{0}V_{0} (3 - 4 \xi) \Delta \xi$.
Это уравнение позволяет определить значение $\xi_{1}$ переменной, начиная с которого уже не требуется тепла для вытеснения ртути:
$\xi_{1} = \frac{3}{4}$, т.е. $x = \frac{3}{4}L$.
На графике это точка D.
Интересно, что при подводе тепла температура сначала увеличивается, а потом уменьшается, хотя тепло еще поступает. Это наступает в тот момент, когда $dt/ d \xi = 0$, т.е. при $\xi_{2} = 1/2$ (на графике это точка В).
Определим теперь, что происходит с теплоемкостью воздуха в нашем квазистатическом процессе. С учетом введенных обозначений и определения теплоемкости С получаем выражение для теплоемкости при любом значении переменной $\xi$:
$C = \frac{ \Delta Q}{ \Delta T} = \frac{1}{T_{0} } \frac{ \Delta Q}{ \Delta \xi} \frac{ \Delta \xi}{ \Delta t} = \frac{1}{T_{0} } p_{}V_{0} \cdot \frac{3}{2} (3 - 4 \xi) \frac{2}{1 - 2 \xi} = 3 \frac{p_{0}V_{0} }{T_{0} } \frac{3 - 4 \xi}{1 - 2 \xi}$.
Это выражение показывает, что теплоемкость в процессе изменяется в широких пределах. На рисунке представлен график зависимости теплоемкости $C$ (деленной на величину $3p_{0}V_{0}/T_{0}$) от переменной $\xi$. Кривая имеет разрыв (сингулярность), который означает, что молярная теплоемкость при $\xi = 1/2$, т.е. при объеме $V = 3V_{0}/2$, стремится к бесконечности. Физически это происходит потому, что в окрестности этой точки изображенный отрезком прямой процесс является хорошей аппроксимацией изотермы, отвечающей максимуму температуры, достигаемой в нашем процессе. Но, как известно, при изотермическом процессе тепло передается, но изменения температуры не происходит, именно поэтому теплоемкость и обращается в бесконечность. Выше указанного значения объема теплоемкость становится отрицательной. Это означает, что, несмотря на полученное тепло, внутренняя энергия системы уменьшается, поскольку работа, производимая расширяющимся газом, больше полученного системой количества теплоты.
Наиболее интересна та часть процесса, которая относится к значениям объема вблизи $V = 7V_{0}/4$, т.е. когда в трубке осталась только четверть начального количества ртути. В этой точке теплоемкость обращается в ноль, что отвечает адиабатическому процессу, когда температура меняется без подвода тепла. В окрестности этой точки наша прямая является касательной к адиабате. Правее этой точки температура уменьшается, но теплоемкость становится положительной, что естественно для процесса охлаждения. Если продолжать сообщать системе тепло, то процесс пойдет дальше не по прямой, а по адиабате. Температура будет падать, но не так, как в случае нашего процесса, происходящего по прямой. Уменьшение внутренней энергии воздуха будет равно работе, производимой им против атмосферного давления во время выталкивания оставшейся ртути вверх с ускорением.
Возвращаясь к исходному вопросу задачи, касающегося нахождения количества теплоты, требуемого для удаления ртути из пробирки, нетрудно заметить, что подвод тепла к системе необходимо осуществлять в интервале значений объема воздуха от $V = V_{0}$ до $V = 7V_{0}/4$. Простой расчет показывает, что работа воздуха, в расчете на моль, при этом составит $39R/32$, в то время как внутренняя энергия системы увеличится, соответственно, на $15R/32$. Отсюда количество теплоты, которое необходимо сообщить v молям воздуха для вытеснения ртути из пробирки, будет равно
$Q = \frac{27}{16} \nu R$.
