Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1041
2016-09-18 
На боковой поверхности длинного цилиндра массой $M$ и радиусом $R$ равномерно распределены $N$ маленьких крючков (как на застёжке-«липучке»). Цилиндр кладут на наклонную плоскость, образующую угол $\alpha$ с горизонтом, так, что его ось горизонтальна (см. рисунок). Поверхность плоскости покрыта, как и на «липучке», петлями. Каждый крючок, коснувшийся поверхности, цепляется за петлю, причём работа по его отрыву от петли равна $A$. При каком соотношении между $R, M, N$ и $A$ цилиндр будет скатываться с плоскости?
Решение:
После того, как цилиндр начал скатываться с наклонной плоскости, для любого момента времени справедливо следующее соотношение, представляющее собой закон изменения энергии: $\Delta W + \Delta U = — A_{сум}$. Здесь $\Delta W$ и $\Delta U$ — изменения кинетической и потенциальной энергий цилиндра за время, прошедшее с начала скатывания, $A_{сум}$ — суммарная работа, которую совершили над цилиндром силы сцепления с плоскостью. Знак «минус» показывает, что силы сцепления тормозят цилиндр.
Пусть к рассматриваемому моменту времени цилиндр прошёл по наклонной плоскости путь $S$, спустившись на высоту $h$, и приобрёл полную кинетическую энергию $W_{0}$. Тогда закон изменения энергии принимает вид: $W_{0} — Mgh = — A_{сум}$ (за нулевой уровень потенциальной энергии принято начальное положение цилиндра). Полученное соотношение можно переписать в виде: $Mgh = W_{0} + A_{сум}$. Так как $W_{0} > 0$, то справедливо неравенство:
$Mgh > A_{сум}$.
Найдём теперь работу $A_{сум}$. Она равна произведению работы $A$, которую нужно затратить для того, чтобы оторвать от петли один крючок, на количество крючков, которые были в зацеплении в течение того времени, пока цилиндр прошёл путь $S$. Последнее, в свою очередь, равно произведению площади, «заметённой» цилиндром длиной $l$ на плоскости при скатывании, на количество крючков (и петель), приходящееся на единицу боковой поверхности цилиндра. В итоге: $A_{сум} = A \cdot Sl \cdot \frac{N}{2 \pi Rl}$. Подставляя выражение для $A_{сум}$ в записанное выше неравенство и учитывая, что $h/S = \sin \alpha$, окончательно получим:
$\frac{AN}{MR} < 2 \pi g \sin \alpha$.
На боковой поверхности длинного цилиндра массой $M$ и радиусом $R$ равномерно распределены $N$ маленьких крючков (как на застёжке-«липучке»). Цилиндр кладут на наклонную плоскость, образующую угол $\alpha$ с горизонтом, так, что его ось горизонтальна (см. рисунок). Поверхность плоскости покрыта, как и на «липучке», петлями. Каждый крючок, коснувшийся поверхности, цепляется за петлю, причём работа по его отрыву от петли равна $A$. При каком соотношении между $R, M, N$ и $A$ цилиндр будет скатываться с плоскости?
Решение:
После того, как цилиндр начал скатываться с наклонной плоскости, для любого момента времени справедливо следующее соотношение, представляющее собой закон изменения энергии: $\Delta W + \Delta U = — A_{сум}$. Здесь $\Delta W$ и $\Delta U$ — изменения кинетической и потенциальной энергий цилиндра за время, прошедшее с начала скатывания, $A_{сум}$ — суммарная работа, которую совершили над цилиндром силы сцепления с плоскостью. Знак «минус» показывает, что силы сцепления тормозят цилиндр.
Пусть к рассматриваемому моменту времени цилиндр прошёл по наклонной плоскости путь $S$, спустившись на высоту $h$, и приобрёл полную кинетическую энергию $W_{0}$. Тогда закон изменения энергии принимает вид: $W_{0} — Mgh = — A_{сум}$ (за нулевой уровень потенциальной энергии принято начальное положение цилиндра). Полученное соотношение можно переписать в виде: $Mgh = W_{0} + A_{сум}$. Так как $W_{0} > 0$, то справедливо неравенство:
$Mgh > A_{сум}$.
Найдём теперь работу $A_{сум}$. Она равна произведению работы $A$, которую нужно затратить для того, чтобы оторвать от петли один крючок, на количество крючков, которые были в зацеплении в течение того времени, пока цилиндр прошёл путь $S$. Последнее, в свою очередь, равно произведению площади, «заметённой» цилиндром длиной $l$ на плоскости при скатывании, на количество крючков (и петель), приходящееся на единицу боковой поверхности цилиндра. В итоге: $A_{сум} = A \cdot Sl \cdot \frac{N}{2 \pi Rl}$. Подставляя выражение для $A_{сум}$ в записанное выше неравенство и учитывая, что $h/S = \sin \alpha$, окончательно получим:
$\frac{AN}{MR} < 2 \pi g \sin \alpha$.
