Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10406
2019-05-11 
Параллельный тонкий монохроматический лазерный пучок падает нормально на дифракционную решетку. Как изменяется дифракционная картина на экране при повороте решетки на угол $\phi$ ($\phi < 90^{ \circ}$) вокруг оси, которая
а) параллельна линиям решетки;
б) перпендикулярна линиям решетки?
Решение:
а) Когда монохроматический лазерный пучок падает на дифракционную решетку под прямым углом, условия максимумов дифракционной картины даются уравнением
$d \sin \theta = m \lambda, m = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots ,$
где $d$ - период решетки, $\lambda$ - длина волны лазерного пучка, $\theta$ - угол, под которым наблюдается соответствующий максимум. Если решетка поворачивается на угол $\phi$ вокруг оси, параллельной линиям решетки, мы должны изменить вышеупомянутое уравнение.
Достаточно рассмотреть интерференцию только об двух щелей решетки, как показано на рисунке. Оптическая разность хода двух лучей, уходящих под углом $\theta$ к горизонту, состоит теперь из двух частей: до решетки и после нее, поэтому
$\Delta = \Delta_{1} + \Delta_{2} = d \sin \phi + d \sin ( \theta - \phi )$.
Таким образом, измененное уравнение для дифракционных максимумов получится таким:
$d( \sin \phi + \sin ( \theta - \phi)) = m \lambda$.
Основной результат такого вращения состоит в том, что наблюдаемая дифракционная картина становится асимметричной, только положение максимума нулевого порядка остается на месте. Если считать $\phi$ положительным, когда решетка вращается против часовой стрелки (и $\theta$ считается положительным в том же самом направлении), то плотность дифракционных максимумов становится больше при положительных углах и меньше для отрицательных. Если щели решетки вертикальны, все дифракционные максимумы лежат вдоль горизонтальной прямой. Это должно противоречить тому, что наблюдается в пункте б).
Примечание. Наивно думать, что вращение решетки должно уменьшить эффективный размер периода решетки. Это неверно.
б) Так как дифракционная решетка это совокупность большого числа идентичных параллельных щелей, в качестве первого шага достаточно рассмотреть дифракцию от одной щели. Если пучок падает перпендикулярно на очень тонкую щель, то дифракционная картина представляет собой слабо освещенную полоску поперек щели. Если щель немного увеличить, то вдоль этой полоски можно увидеть дифракционные минимумы.
Когда вертикальная щель наклонена «вперед» (т.е. вращается вокруг горизонтальной оси, которая является перпендикулярной к щели и к падающему пучку), максимум нулевого порядка остается неизменным. Хотя приходящий пучок падает на различные участки щели с разными фазами, вне щели в направлении падающего пучка нет никаких фазовых различий и нет никакого изменения в дифракционной картине.
Представим щель в виде большого числа близко расположенных очень маленьких отверстий. Тогда мы должны признать, что вторичные волны, выходящие из отверстий в направлении падающего пучка, образуют дифракционную картину. Это верно и для всех других направлений вторичных пучков (в трех измерениях), которые образуют тот же самый угол с направлением щели. Если щель наклонена под углом $\phi$, то угол между щелью и падающим пучком равен $\gamma = 90^{ \circ} - \phi$ (рис.). Тот же самый угол $\gamma$ (между щелью и падающим лучом) образуется для любого луча, который находится на поверхности конуса (является его образующей) с углом раствора $2 \gamma$ и направлением щели в качестве его оси. На экране мы увидим сечение этого конуса (рис.). Вершина конуса находится в центре щели. Коническое сечение может быть эллипсом, параболой или гиперболой. В частности, парабола получается при $\gamma = \phi = 45^{ \circ}$.
Возвращаясь к нашей задаче, можно сказать, что дифракционная картина наклоненной решетки состоит из ярких пятен, находящихся на коническом сечении.
Параллельный тонкий монохроматический лазерный пучок падает нормально на дифракционную решетку. Как изменяется дифракционная картина на экране при повороте решетки на угол $\phi$ ($\phi < 90^{ \circ}$) вокруг оси, которая
а) параллельна линиям решетки;
б) перпендикулярна линиям решетки?
Решение:
а) Когда монохроматический лазерный пучок падает на дифракционную решетку под прямым углом, условия максимумов дифракционной картины даются уравнением
$d \sin \theta = m \lambda, m = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots ,$
где $d$ - период решетки, $\lambda$ - длина волны лазерного пучка, $\theta$ - угол, под которым наблюдается соответствующий максимум. Если решетка поворачивается на угол $\phi$ вокруг оси, параллельной линиям решетки, мы должны изменить вышеупомянутое уравнение.
Достаточно рассмотреть интерференцию только об двух щелей решетки, как показано на рисунке. Оптическая разность хода двух лучей, уходящих под углом $\theta$ к горизонту, состоит теперь из двух частей: до решетки и после нее, поэтому
$\Delta = \Delta_{1} + \Delta_{2} = d \sin \phi + d \sin ( \theta - \phi )$.
Таким образом, измененное уравнение для дифракционных максимумов получится таким:
$d( \sin \phi + \sin ( \theta - \phi)) = m \lambda$.
Основной результат такого вращения состоит в том, что наблюдаемая дифракционная картина становится асимметричной, только положение максимума нулевого порядка остается на месте. Если считать $\phi$ положительным, когда решетка вращается против часовой стрелки (и $\theta$ считается положительным в том же самом направлении), то плотность дифракционных максимумов становится больше при положительных углах и меньше для отрицательных. Если щели решетки вертикальны, все дифракционные максимумы лежат вдоль горизонтальной прямой. Это должно противоречить тому, что наблюдается в пункте б).
Примечание. Наивно думать, что вращение решетки должно уменьшить эффективный размер периода решетки. Это неверно.
б) Так как дифракционная решетка это совокупность большого числа идентичных параллельных щелей, в качестве первого шага достаточно рассмотреть дифракцию от одной щели. Если пучок падает перпендикулярно на очень тонкую щель, то дифракционная картина представляет собой слабо освещенную полоску поперек щели. Если щель немного увеличить, то вдоль этой полоски можно увидеть дифракционные минимумы.
Когда вертикальная щель наклонена «вперед» (т.е. вращается вокруг горизонтальной оси, которая является перпендикулярной к щели и к падающему пучку), максимум нулевого порядка остается неизменным. Хотя приходящий пучок падает на различные участки щели с разными фазами, вне щели в направлении падающего пучка нет никаких фазовых различий и нет никакого изменения в дифракционной картине.
Представим щель в виде большого числа близко расположенных очень маленьких отверстий. Тогда мы должны признать, что вторичные волны, выходящие из отверстий в направлении падающего пучка, образуют дифракционную картину. Это верно и для всех других направлений вторичных пучков (в трех измерениях), которые образуют тот же самый угол с направлением щели. Если щель наклонена под углом $\phi$, то угол между щелью и падающим пучком равен $\gamma = 90^{ \circ} - \phi$ (рис.). Тот же самый угол $\gamma$ (между щелью и падающим лучом) образуется для любого луча, который находится на поверхности конуса (является его образующей) с углом раствора $2 \gamma$ и направлением щели в качестве его оси. На экране мы увидим сечение этого конуса (рис.). Вершина конуса находится в центре щели. Коническое сечение может быть эллипсом, параболой или гиперболой. В частности, парабола получается при $\gamma = \phi = 45^{ \circ}$.
Возвращаясь к нашей задаче, можно сказать, что дифракционная картина наклоненной решетки состоит из ярких пятен, находящихся на коническом сечении.
