Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1040
2016-09-18 
Модель водяного колеса устроена следующим образом (см. рисунок): на ободе колеса радиусом $R = 1 м$ равномерно расположены $N$ ячеек, причём $N = 201$. Когда очередная ячейка проходит верхнее положение, в неё сбрасывается (без начальной скорости относительно земли) груз массой $m = 100 г$. Когда ячейка проходит нижнее положение, груз вываливается из неё без начальной скорости относительно колеса. Масса самого колеса мала, все удары абсолютно неупругие, трения нет. Найдите установившуюся угловую скорость вращения колеса $\omega$.
Решение:
В установившемся режиме вращения за один «такт», который состоит из падения одного груза в верхнюю ячейку и выбрасывания второго груза из нижней ячейки, в систему поступает энергия $\Delta U = 2mgR$. Система приобретает эту энергию за счёт работы силы тяжести над грузами, лежащими в ячейках колеса. За то же самое время система теряет кинетическую энергию $\Delta W_{1} = mv^{2}/2$, которая уносится вываливающимся снизу грузом и, кроме того, некоторая энергия $\Delta W_{2}$ рассеивается при абсолютно неупругом ударе во время падения груза в верхнюю ячейку. По аналогии с законом сохранения импульса, для нашей системы «падающий груз + колесо» при таком ударе можно записать:
$ \frac{N}{2} mv = \left ( \frac{N}{2} + 1 \right ) mu$,
где $v$ — скорость обода до падения груза, $u$ — после его падения. Потери энергии при ударе определяются соотношением:
$ \Delta W_{2} = \frac{N}{2} \cdot \frac{mv^{2}}{2} - \left ( \frac{N}{2} + 1 \right ) \frac{mu^{2}}{2}$.
Выражая $u$ из первого уравнения и подставляя во второе, получаем:
$ \Delta W_{2} = \frac{N}{2} \cdot \frac{mv^{2}}{2} - \left ( \frac{N}{2} + 1 \right ) \cdot \frac{m}{2} \cdot \frac{N^{2}}{(N+2)^{2}} v^{2} = \frac{mv^{2}}{2} \left ( \frac{N}{2} - \frac{N^{2}}{2(N+2)} \right ) = \frac{mv^{2}}{2} \cdot \frac{N}{N+2}$.
При достаточно больших $N ( \sim 10^{2})$ отношение $\frac{N}{N+2}$ имеет порядок единицы. Значит, $ \Delta W_{2} \cong \frac{mv^{2}}{2}$. Этот результат означает, что в системе отсчёта, связанной с ободом колеса, падающий сверху груз тормозится почти до нулевой скорости.
Так как движение колеса является установившимся, то энергия, поступающая в систему за один «такт», и энергия, теряемая за то же время, должны быть одинаковы:
$\Delta U = \Delta W_{1} + \Delta W_{2}$, или $2mgR \cong \frac{mv^{2}}{2} + \frac{mv^{2}}{2}$.
Отсюда $v = \sqrt{2gR}$, и для установившейся угловой скорости вращения колеса получаем:
$ \omega = \frac{v}{R} \cong \sqrt{ \frac{2g}{R}} \approx 4,4 рад/с$.
Модель водяного колеса устроена следующим образом (см. рисунок): на ободе колеса радиусом $R = 1 м$ равномерно расположены $N$ ячеек, причём $N = 201$. Когда очередная ячейка проходит верхнее положение, в неё сбрасывается (без начальной скорости относительно земли) груз массой $m = 100 г$. Когда ячейка проходит нижнее положение, груз вываливается из неё без начальной скорости относительно колеса. Масса самого колеса мала, все удары абсолютно неупругие, трения нет. Найдите установившуюся угловую скорость вращения колеса $\omega$.
Решение:
В установившемся режиме вращения за один «такт», который состоит из падения одного груза в верхнюю ячейку и выбрасывания второго груза из нижней ячейки, в систему поступает энергия $\Delta U = 2mgR$. Система приобретает эту энергию за счёт работы силы тяжести над грузами, лежащими в ячейках колеса. За то же самое время система теряет кинетическую энергию $\Delta W_{1} = mv^{2}/2$, которая уносится вываливающимся снизу грузом и, кроме того, некоторая энергия $\Delta W_{2}$ рассеивается при абсолютно неупругом ударе во время падения груза в верхнюю ячейку. По аналогии с законом сохранения импульса, для нашей системы «падающий груз + колесо» при таком ударе можно записать:
$ \frac{N}{2} mv = \left ( \frac{N}{2} + 1 \right ) mu$,
где $v$ — скорость обода до падения груза, $u$ — после его падения. Потери энергии при ударе определяются соотношением:
$ \Delta W_{2} = \frac{N}{2} \cdot \frac{mv^{2}}{2} - \left ( \frac{N}{2} + 1 \right ) \frac{mu^{2}}{2}$.
Выражая $u$ из первого уравнения и подставляя во второе, получаем:
$ \Delta W_{2} = \frac{N}{2} \cdot \frac{mv^{2}}{2} - \left ( \frac{N}{2} + 1 \right ) \cdot \frac{m}{2} \cdot \frac{N^{2}}{(N+2)^{2}} v^{2} = \frac{mv^{2}}{2} \left ( \frac{N}{2} - \frac{N^{2}}{2(N+2)} \right ) = \frac{mv^{2}}{2} \cdot \frac{N}{N+2}$.
При достаточно больших $N ( \sim 10^{2})$ отношение $\frac{N}{N+2}$ имеет порядок единицы. Значит, $ \Delta W_{2} \cong \frac{mv^{2}}{2}$. Этот результат означает, что в системе отсчёта, связанной с ободом колеса, падающий сверху груз тормозится почти до нулевой скорости.
Так как движение колеса является установившимся, то энергия, поступающая в систему за один «такт», и энергия, теряемая за то же время, должны быть одинаковы:
$\Delta U = \Delta W_{1} + \Delta W_{2}$, или $2mgR \cong \frac{mv^{2}}{2} + \frac{mv^{2}}{2}$.
Отсюда $v = \sqrt{2gR}$, и для установившейся угловой скорости вращения колеса получаем:
$ \omega = \frac{v}{R} \cong \sqrt{ \frac{2g}{R}} \approx 4,4 рад/с$.
