Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10397
2019-05-11 
В начале девятнадцатого столетия экспериментальные и теоретические исследования в физике были сфокусированы на изучении магнитного поля проводов, по которым текут электрические токи. Особенно интересен случай, когда постоянный ток $I$ идет по очень длинному проводу, согнутому в форме буквы $V$ с углом $2 \theta$ (рис.). Согласно вычислениям Ампера, величина $B$ магнитного поля около точки Р, находящейся вне V-образного провода, но на его оси симметрии и на расстоянии $d$ от его вершины, пропорциональна $tg( \theta /2)$. Для той же самой ситуации Био и Савар предположили, что магнитное поле в точке Р могло бы быть пропорционально $\theta$. Фактически, они попытались выбрать одно из этих двух предположений, измеряя период колебаний магнитной стрелки как функцию угла V-образного провода. Однако для диапазона выбранных значений $\theta$ предсказанные различия оказались слишком малыми, чтобы быть измеренными.
а) Какая формула могла бы быть правильной?
б) Найдите коэффициент пропорциональности в этой правильной формуле и оцените наиболее вероятный эффект, появляющийся в другой формуле.
Решение:
а) Когда угол $2 \theta$ достигает $2 \pi$, точка Р оказывается между проводами, причем бесконечно близко к ним, так что обе половины токопроводящего провода создают очень большие магнитные поля в точке Р в одном и том же направлении. Таким образом, в этом случае величина суммарного магнитного поля в вершине угла приближается к бесконечности. Так как $tg ( \theta /2)$ также приближается к бесконечности, когда $\theta$ приближается к $\pi$, то формула Ампера может быть правильной. Выражение, предложенное Био и Саваром, должно быть неправильным, так как оно дает конечное значение для $B$. Фактически, результат Ампера был позже включен в электромагнитную теорию Максвелла и теперь является общепринятым в физике.
б) При $2 \theta = \pi$ V-образный провод становится прямым бесконечным проводом. Для этого случая, как известно, $B = \frac{ \mu_{0}I}{2 \pi d}$. Так как $tg \frac{ \theta}{2} = tg \frac{ \pi}{4} = 1$, коэффициент пропорциональности в формуле Ампера равен $\frac{ \mu_{0}I}{2 \pi d}$.
Био и Савар выбрали свою формулу таким образом, что она согласуется с уже общепринятым выражением для магнитного поля для прямого бесконечного провода с током. Поэтому в качестве коэффициента пропорциональности у них был множитель $\frac{ \mu_{0} I }{ \pi^{2}d }$.
Примечание. В области $\theta < \pi /2$ разность между этими двумя предсказаниями относительно мала. Отношение предсказанных величин индукции магнитного поля будет равно $\frac{ 2 \theta}{ \pi tg \frac{ \theta}{2} }$. Оно имеет самое большое значение $4/ \pi$ , когда $\theta \rightarrow 0$.
В начале девятнадцатого столетия экспериментальные и теоретические исследования в физике были сфокусированы на изучении магнитного поля проводов, по которым текут электрические токи. Особенно интересен случай, когда постоянный ток $I$ идет по очень длинному проводу, согнутому в форме буквы $V$ с углом $2 \theta$ (рис.). Согласно вычислениям Ампера, величина $B$ магнитного поля около точки Р, находящейся вне V-образного провода, но на его оси симметрии и на расстоянии $d$ от его вершины, пропорциональна $tg( \theta /2)$. Для той же самой ситуации Био и Савар предположили, что магнитное поле в точке Р могло бы быть пропорционально $\theta$. Фактически, они попытались выбрать одно из этих двух предположений, измеряя период колебаний магнитной стрелки как функцию угла V-образного провода. Однако для диапазона выбранных значений $\theta$ предсказанные различия оказались слишком малыми, чтобы быть измеренными.
а) Какая формула могла бы быть правильной?
б) Найдите коэффициент пропорциональности в этой правильной формуле и оцените наиболее вероятный эффект, появляющийся в другой формуле.
Решение:
а) Когда угол $2 \theta$ достигает $2 \pi$, точка Р оказывается между проводами, причем бесконечно близко к ним, так что обе половины токопроводящего провода создают очень большие магнитные поля в точке Р в одном и том же направлении. Таким образом, в этом случае величина суммарного магнитного поля в вершине угла приближается к бесконечности. Так как $tg ( \theta /2)$ также приближается к бесконечности, когда $\theta$ приближается к $\pi$, то формула Ампера может быть правильной. Выражение, предложенное Био и Саваром, должно быть неправильным, так как оно дает конечное значение для $B$. Фактически, результат Ампера был позже включен в электромагнитную теорию Максвелла и теперь является общепринятым в физике.
б) При $2 \theta = \pi$ V-образный провод становится прямым бесконечным проводом. Для этого случая, как известно, $B = \frac{ \mu_{0}I}{2 \pi d}$. Так как $tg \frac{ \theta}{2} = tg \frac{ \pi}{4} = 1$, коэффициент пропорциональности в формуле Ампера равен $\frac{ \mu_{0}I}{2 \pi d}$.
Био и Савар выбрали свою формулу таким образом, что она согласуется с уже общепринятым выражением для магнитного поля для прямого бесконечного провода с током. Поэтому в качестве коэффициента пропорциональности у них был множитель $\frac{ \mu_{0} I }{ \pi^{2}d }$.
Примечание. В области $\theta < \pi /2$ разность между этими двумя предсказаниями относительно мала. Отношение предсказанных величин индукции магнитного поля будет равно $\frac{ 2 \theta}{ \pi tg \frac{ \theta}{2} }$. Оно имеет самое большое значение $4/ \pi$ , когда $\theta \rightarrow 0$.
