Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10394
2019-05-11 
В древние времена люди думали, что Земля плоская. Вообразите, что Земля действительно не шар радиусом $R$, а бесконечная пластина толщиной $H$. При каком значении $H$ ускорение свободного падения в этой модели не будет отличаться от ускорения свободного падения на поверхности сферической Земли? Считайте, что плотность земных пород не зависит от глубины залегания и в обеих моделях одинакова.
Решение:
Гравитационное ускорение $g$ на поверхности сферической Земли радиусом $R$, массой $M$ и плотностью $\rho$ можно выразить так:
$g = G \frac{M}{R^{2} } = G \frac{4 \pi \rho R^{3} }{3R^{2} } = \frac{4 \pi }{3} GR \rho$.
Чтобы решить задачу, мы должны найти величину гравитационного ускорения на поверхности очень большой пластины толщиной $H$ и плотностью $\rho$ в точке, удаленной от ее краев. Используем аналогию между законами, описывающими электростатические и гравитационные взаимодействия. Действительно, легко увидеть аналогию между массой $m$ (гравитационный заряд) и электрическим зарядом $q$, гравитационной постоянной $G$ и коэффициентом $1/(4 \pi \epsilon_{0})$, гравитационным ускорением $g = F/m$ и напряженностью электрического поля $E = F/q$. В обоих случаях $F$ - сила, испытываемая «пробным зарядом». Определим напряженность электрического поля вне бесконечно большой пластины, несущей равномерно распределенный заряд, затем заменим аналогичные величины, чтобы получить гравитационное ускорение.
Напряженность электростатического поля можно рассчитать, применив теорему Гаусса к небольшой выделенной области площадью $S$ (рис.):
$\Phi = \frac{1}{ \epsilon_{0} } \sum q$,
где $\Phi = 2SE$ - поток вектора электрического поля. Пусть $\rho_{q}$ - плотность электрического заряда, тогда полный заряд, окруженный замкнутой поверхностью, есть $\sum q = \rho_{q}SH$. Поэтому
$2SE = \frac{1 }{ \epsilon_{0} } \rho_{q}SH$,
откуда получаем выражение для напряженности $E$ электрического поля:
$E = \frac{1}{ \epsilon_{0}} \frac{ \rho_{q} H }{2}$.
Используя соответствующие аналогии, найдем гравитационное ускорение: $g = 2 \pi \rho GH$. По условию задачи, оно должно быть равно гравитационному ускорению, измеренному на поверхности Земли:
$\frac{4 \pi }{3} GR \rho = g_{сф} = g_{пл} = 2 \pi \rho GH$.
Отсюда можно выразить толщину $H$ плоской Земли:
$H = \frac{2R}{3} = \frac{2 \cdot 6370 км}{3} = 4250 км$.
В древние времена люди думали, что Земля плоская. Вообразите, что Земля действительно не шар радиусом $R$, а бесконечная пластина толщиной $H$. При каком значении $H$ ускорение свободного падения в этой модели не будет отличаться от ускорения свободного падения на поверхности сферической Земли? Считайте, что плотность земных пород не зависит от глубины залегания и в обеих моделях одинакова.
Решение:
Гравитационное ускорение $g$ на поверхности сферической Земли радиусом $R$, массой $M$ и плотностью $\rho$ можно выразить так:
$g = G \frac{M}{R^{2} } = G \frac{4 \pi \rho R^{3} }{3R^{2} } = \frac{4 \pi }{3} GR \rho$.
Чтобы решить задачу, мы должны найти величину гравитационного ускорения на поверхности очень большой пластины толщиной $H$ и плотностью $\rho$ в точке, удаленной от ее краев. Используем аналогию между законами, описывающими электростатические и гравитационные взаимодействия. Действительно, легко увидеть аналогию между массой $m$ (гравитационный заряд) и электрическим зарядом $q$, гравитационной постоянной $G$ и коэффициентом $1/(4 \pi \epsilon_{0})$, гравитационным ускорением $g = F/m$ и напряженностью электрического поля $E = F/q$. В обоих случаях $F$ - сила, испытываемая «пробным зарядом». Определим напряженность электрического поля вне бесконечно большой пластины, несущей равномерно распределенный заряд, затем заменим аналогичные величины, чтобы получить гравитационное ускорение.
Напряженность электростатического поля можно рассчитать, применив теорему Гаусса к небольшой выделенной области площадью $S$ (рис.):
$\Phi = \frac{1}{ \epsilon_{0} } \sum q$,
где $\Phi = 2SE$ - поток вектора электрического поля. Пусть $\rho_{q}$ - плотность электрического заряда, тогда полный заряд, окруженный замкнутой поверхностью, есть $\sum q = \rho_{q}SH$. Поэтому
$2SE = \frac{1 }{ \epsilon_{0} } \rho_{q}SH$,
откуда получаем выражение для напряженности $E$ электрического поля:
$E = \frac{1}{ \epsilon_{0}} \frac{ \rho_{q} H }{2}$.
Используя соответствующие аналогии, найдем гравитационное ускорение: $g = 2 \pi \rho GH$. По условию задачи, оно должно быть равно гравитационному ускорению, измеренному на поверхности Земли:
$\frac{4 \pi }{3} GR \rho = g_{сф} = g_{пл} = 2 \pi \rho GH$.
Отсюда можно выразить толщину $H$ плоской Земли:
$H = \frac{2R}{3} = \frac{2 \cdot 6370 км}{3} = 4250 км$.
