Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10389
2019-05-11 
Зеленые человечки из задачи 10388, питающиеся титаном, продолжили свои раскопки. В результате их разрушительного действия на окружающую среду половина астероида была скоро раскопана, и, как показано на рисунке, осталось только одно правильное полушарие. Выкопанный материал был унесен с астероида. Каково ускорение $g$ свободного падения в центре плоской поверхности оставшегося полушария, если ускорение свободного падения на поверхности исходного (шарообразного) астероида было равно $g_{0} =9,81 см/с^{2}$?
Решение:
Вообразим, что полушарие разделено на множество концентрических полусферических оболочек одинаковой толщины (рис.). Какая сила действует на зонд единичной массы, находящийся в центре сферы, со стороны этих оболочек? Так как масса оболочки прямо пропорциональна квадрату ее радиуса, а сила, действующая на зонд со стороны оболочки, обратно пропорциональна квадрату ее радиуса, то гравитационные ускорения в центре сферы одни и те же для всех полусферических оболочек.
Если имеется $n$ оболочек, то масса наиболее удаленной оболочки равна $2 \pi R^{2} (R/n) \rho$, где $R$ - радиус астероида, $\rho$ - его плотность. Полное поле тяготения, создаваемое всем полушарием, в $n$ раз больше, чем от одной оболочки. Будем считать, что масса всех оболочек полушария сосредоточена в его наиболее удаленной (поверхностной) оболочке с массой, равной $2 \pi R^{3} \rho$. Масса этой вспомогательной оболочки оказывается в три раза больше фактической массы полушария. Сила, которая действует на зонд со стороны этой полусферической оболочки массой $M$, такая же, как и сила, с которой наш зонд единичной массы действует на оболочку. Значит, на единицу площади поверхности оболочки будет действовать сила
$p = G \frac{ \frac{M}{2 \pi R^{2} } }{R^{2} } = \frac{G \rho}{R}$.
Чтобы просуммировать эту силу по всей оболочке, можно рассмотреть аналогичную ситуацию нахождения силы, создаваемой жидкостью под давлением р на подобную полусферическую оболочку (рис.). Так как результирующая сила давления жидкости на полное полушарие была бы нулевой, сила, действующая на его полусферическую поверхность, будет той же самой по величине, как и сила, действующая на его плоскую поверхность (рис.). Таким образом,
$g = p \pi R^{2} = G \rho \pi R$.
Исходное гравитационное ускорение на поверхности астероида было
$g_{0} = G \frac{ \rho \frac{4 \pi R^{3}}{3}}{R^{2} } = \frac{4}{3} G \rho \pi R$.
Поэтому рассчитанное нами ускорение равно
$g = \frac{3}{4} g_{0} = 7,36 см/с^{2}$.
Заметим, что, зная плотность титана, можно определить первоначальный радиус астероида: $R \approx 78 км$.
Зеленые человечки из задачи 10388, питающиеся титаном, продолжили свои раскопки. В результате их разрушительного действия на окружающую среду половина астероида была скоро раскопана, и, как показано на рисунке, осталось только одно правильное полушарие. Выкопанный материал был унесен с астероида. Каково ускорение $g$ свободного падения в центре плоской поверхности оставшегося полушария, если ускорение свободного падения на поверхности исходного (шарообразного) астероида было равно $g_{0} =9,81 см/с^{2}$?
Решение:
Вообразим, что полушарие разделено на множество концентрических полусферических оболочек одинаковой толщины (рис.). Какая сила действует на зонд единичной массы, находящийся в центре сферы, со стороны этих оболочек? Так как масса оболочки прямо пропорциональна квадрату ее радиуса, а сила, действующая на зонд со стороны оболочки, обратно пропорциональна квадрату ее радиуса, то гравитационные ускорения в центре сферы одни и те же для всех полусферических оболочек.
Если имеется $n$ оболочек, то масса наиболее удаленной оболочки равна $2 \pi R^{2} (R/n) \rho$, где $R$ - радиус астероида, $\rho$ - его плотность. Полное поле тяготения, создаваемое всем полушарием, в $n$ раз больше, чем от одной оболочки. Будем считать, что масса всех оболочек полушария сосредоточена в его наиболее удаленной (поверхностной) оболочке с массой, равной $2 \pi R^{3} \rho$. Масса этой вспомогательной оболочки оказывается в три раза больше фактической массы полушария. Сила, которая действует на зонд со стороны этой полусферической оболочки массой $M$, такая же, как и сила, с которой наш зонд единичной массы действует на оболочку. Значит, на единицу площади поверхности оболочки будет действовать сила
$p = G \frac{ \frac{M}{2 \pi R^{2} } }{R^{2} } = \frac{G \rho}{R}$.
Чтобы просуммировать эту силу по всей оболочке, можно рассмотреть аналогичную ситуацию нахождения силы, создаваемой жидкостью под давлением р на подобную полусферическую оболочку (рис.). Так как результирующая сила давления жидкости на полное полушарие была бы нулевой, сила, действующая на его полусферическую поверхность, будет той же самой по величине, как и сила, действующая на его плоскую поверхность (рис.). Таким образом,
$g = p \pi R^{2} = G \rho \pi R$.
Исходное гравитационное ускорение на поверхности астероида было
$g_{0} = G \frac{ \rho \frac{4 \pi R^{3}}{3}}{R^{2} } = \frac{4}{3} G \rho \pi R$.
Поэтому рассчитанное нами ускорение равно
$g = \frac{3}{4} g_{0} = 7,36 см/с^{2}$.
Заметим, что, зная плотность титана, можно определить первоначальный радиус астероида: $R \approx 78 км$.
