Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10388
2019-05-11 
Институт исследования космических аварий послал следующее короткое сообщение одному из своих экспертов:
Космический корабль маленьких зеленых человечков, питающихся титаном, нашел сферический астероид. Узкая испытательная шахта была просверлена от точки на его поверхности к центру О астероида (рис., слева). Подтвердилось, что весь астероид сделан из однородного титана. В этот момент произошла трагедия -один из маленьких зеленых человечков упал в испытательную шахту. Он падал без препятствий, пока не достиг точки О, где погиб от столкновения с дном шахты. Однако маленькие зеленые человечки продолжили работу и начали секретные раскопки титана, в ходе которых они сформировали сферическую пещеру диаметром АО внутри астероида, как показано на рисунке справа. Но тут произошла вторая трагедия - другой маленький зеленый человечек упал в точке А и летел до точки О, где и погиб.
Институт попросил эксперта вычислить отношение скоростей в точке О и отношение времен, затрачиваемых на падение от A до О двумя несчастными маленькими человечками. Какие цифры привел эксперт в своем ответе?
Решение:
Будем считать, что испытательное отверстие имеет незначительный объем по сравнению с объемом целого астероида. Пусть $\rho$ - плотность астероида, a $R$ - его радиус. Гравитационное ускорение на расстоянии $r$ от центра астероида то же самое, как на поверхности шара радиусом $r$.
$g(r) = \frac{Gm(r)}{r^{2} } = \frac{G (4/3) \rho \pi r^{3} }{r^{2} } = \frac{4}{3} \rho \pi Gr$.
Таким образом, гравитационное ускорение прямо пропорционально расстоянию от центра астероида и всегда направлено к центру. Это означает, что первый зеленый человечек приблизился к центру астероида, совершая гармонические колебания с амплитудой $R$, и после первой четверти колебания произошло несчастье. Коэффициент при $r$ в вышеупомянутом выражении соответствует квадрату угловой частоты $\omega$, т.е. $\omega = 2 \sqrt{ \rho \pi G/3}$. Поэтому продолжительность падения была
$T_{1} = \frac{T}{4} = \frac{ 2 \pi / \omega}{4} = \frac{1}{4} \sqrt{ \frac{3 \pi}{ \rho G} }$.
Скорость $v_{1}$, с которой человечек столкнулся с основанием отверстия, можно найти как произведение амплитуды на угловую частоту:
$v_{1} = R \omega = 2R \sqrt{ \frac{ \rho \pi G}{3} }$.
Ко времени второй аварии зеленые человечки уже выкопали восьмую часть материала в астероиде. Необходимо определить поле тяготения в сферической полости, простирающейся от поверхности планеты к ее центру. Это можно сделать, хитроумно используя принцип суперпозиции (наложения). Вообразите, что полость заполнена смесью нормального титана и титана отрицательной плотности. В сумме эти два титана образуют пустое место, что нам и нужно. Но теперь мы можем поле тяготения в полости заменить суммой гравитационных полей сплошного шара из титана и шарика из титана с отрицательной плотностью. Схематически это показано на рисунке. Вектор $\vec{r}$ направлен из центра астероида к произвольной точке Р в полости, вектор $\vec{c}$ направлен от центра полости к центру астероида и вектор $\vec{r} + \vec{c}$ направлен от центра полости к точке Р.
Заметим, что гравитационные ускорения равны произведению $\omega^{2}$ на соответствующие радиусы-векторы, с учетом знака материала вещества. Результирующее ускорение (рис.), равное
$g = - \omega^{2} \vec{r} + \omega^{2} ( \vec{r} + \vec{c}) = \omega^{2} \vec{c}$,
оказывается в любом месте полости постоянным по величине и направлению. Это означает, что гравитационное ускорение в полости равно $\omega^{2}R/2$, что эквивалентно ускорению в середине глубины испытательного канала (т.е. в центре полости).
Примечание. Подобным образом можно показать, что в любой сферической полости поле однородно, а создаваемое им гравитационное ускорение равно ускорению на глубине центра полости для сплошного тела.
Продолжительность $T_{2}$ падения и скорость соударения $v_{2}$ второго несчастного зеленого человечка можно рассчитать так же, как падение тел с постоянным ускорением:
$T_{2} = \sqrt{ \frac{2R}{ \omega^{2}R/2 } } = \frac{2}{ \omega} = \sqrt{ \frac{3}{ \pi \rho G} }, v_{2} = T_{2} \frac{ \omega^{2}R }{2} = 2R \sqrt{ \frac{ \rho \pi G}{3} }$.
Таким образом, отношения, сообщенные экспертом, были такими:
$\frac{T_{1} }{T_{2} } = \frac{ \pi}{4}, \frac{v_{1} }{v_{2} } = 1$.
Получается, что второй несчастный зеленый человечек затратил несколько больше времени, чтобы упасть, чем первый, но они оба ударились о центр астероида с одной и той же скоростью.
То, что конечные скорости обоих человечков оказались одинаковыми, можно пояснить с точки зрения закона сохранения механической энергии. Действительно, разность кинетических энергий человечка в начале и в конце падения должна быть равна изменению его полной потенциальной энергии. Но это изменение для обоих человечков одно и то же, поскольку второй человечек падает в полости с отрицательной плотностью между точками равного гравитационного потенциала, а изменение потенциалов поля сплошного титанового шара для обоих человечков одно и то же.
Институт исследования космических аварий послал следующее короткое сообщение одному из своих экспертов:
Космический корабль маленьких зеленых человечков, питающихся титаном, нашел сферический астероид. Узкая испытательная шахта была просверлена от точки на его поверхности к центру О астероида (рис., слева). Подтвердилось, что весь астероид сделан из однородного титана. В этот момент произошла трагедия -один из маленьких зеленых человечков упал в испытательную шахту. Он падал без препятствий, пока не достиг точки О, где погиб от столкновения с дном шахты. Однако маленькие зеленые человечки продолжили работу и начали секретные раскопки титана, в ходе которых они сформировали сферическую пещеру диаметром АО внутри астероида, как показано на рисунке справа. Но тут произошла вторая трагедия - другой маленький зеленый человечек упал в точке А и летел до точки О, где и погиб.
Институт попросил эксперта вычислить отношение скоростей в точке О и отношение времен, затрачиваемых на падение от A до О двумя несчастными маленькими человечками. Какие цифры привел эксперт в своем ответе?
Решение:
Будем считать, что испытательное отверстие имеет незначительный объем по сравнению с объемом целого астероида. Пусть $\rho$ - плотность астероида, a $R$ - его радиус. Гравитационное ускорение на расстоянии $r$ от центра астероида то же самое, как на поверхности шара радиусом $r$.
$g(r) = \frac{Gm(r)}{r^{2} } = \frac{G (4/3) \rho \pi r^{3} }{r^{2} } = \frac{4}{3} \rho \pi Gr$.
Таким образом, гравитационное ускорение прямо пропорционально расстоянию от центра астероида и всегда направлено к центру. Это означает, что первый зеленый человечек приблизился к центру астероида, совершая гармонические колебания с амплитудой $R$, и после первой четверти колебания произошло несчастье. Коэффициент при $r$ в вышеупомянутом выражении соответствует квадрату угловой частоты $\omega$, т.е. $\omega = 2 \sqrt{ \rho \pi G/3}$. Поэтому продолжительность падения была
$T_{1} = \frac{T}{4} = \frac{ 2 \pi / \omega}{4} = \frac{1}{4} \sqrt{ \frac{3 \pi}{ \rho G} }$.
Скорость $v_{1}$, с которой человечек столкнулся с основанием отверстия, можно найти как произведение амплитуды на угловую частоту:
$v_{1} = R \omega = 2R \sqrt{ \frac{ \rho \pi G}{3} }$.
Ко времени второй аварии зеленые человечки уже выкопали восьмую часть материала в астероиде. Необходимо определить поле тяготения в сферической полости, простирающейся от поверхности планеты к ее центру. Это можно сделать, хитроумно используя принцип суперпозиции (наложения). Вообразите, что полость заполнена смесью нормального титана и титана отрицательной плотности. В сумме эти два титана образуют пустое место, что нам и нужно. Но теперь мы можем поле тяготения в полости заменить суммой гравитационных полей сплошного шара из титана и шарика из титана с отрицательной плотностью. Схематически это показано на рисунке. Вектор $\vec{r}$ направлен из центра астероида к произвольной точке Р в полости, вектор $\vec{c}$ направлен от центра полости к центру астероида и вектор $\vec{r} + \vec{c}$ направлен от центра полости к точке Р.
Заметим, что гравитационные ускорения равны произведению $\omega^{2}$ на соответствующие радиусы-векторы, с учетом знака материала вещества. Результирующее ускорение (рис.), равное
$g = - \omega^{2} \vec{r} + \omega^{2} ( \vec{r} + \vec{c}) = \omega^{2} \vec{c}$,
оказывается в любом месте полости постоянным по величине и направлению. Это означает, что гравитационное ускорение в полости равно $\omega^{2}R/2$, что эквивалентно ускорению в середине глубины испытательного канала (т.е. в центре полости).
Примечание. Подобным образом можно показать, что в любой сферической полости поле однородно, а создаваемое им гравитационное ускорение равно ускорению на глубине центра полости для сплошного тела.
Продолжительность $T_{2}$ падения и скорость соударения $v_{2}$ второго несчастного зеленого человечка можно рассчитать так же, как падение тел с постоянным ускорением:
$T_{2} = \sqrt{ \frac{2R}{ \omega^{2}R/2 } } = \frac{2}{ \omega} = \sqrt{ \frac{3}{ \pi \rho G} }, v_{2} = T_{2} \frac{ \omega^{2}R }{2} = 2R \sqrt{ \frac{ \rho \pi G}{3} }$.
Таким образом, отношения, сообщенные экспертом, были такими:
$\frac{T_{1} }{T_{2} } = \frac{ \pi}{4}, \frac{v_{1} }{v_{2} } = 1$.
Получается, что второй несчастный зеленый человечек затратил несколько больше времени, чтобы упасть, чем первый, но они оба ударились о центр астероида с одной и той же скоростью.
То, что конечные скорости обоих человечков оказались одинаковыми, можно пояснить с точки зрения закона сохранения механической энергии. Действительно, разность кинетических энергий человечка в начале и в конце падения должна быть равна изменению его полной потенциальной энергии. Но это изменение для обоих человечков одно и то же, поскольку второй человечек падает в полости с отрицательной плотностью между точками равного гравитационного потенциала, а изменение потенциалов поля сплошного титанового шара для обоих человечков одно и то же.
