Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10386
2019-05-11 
Пожарный шланг массой $M$ и длиной $L$ смотан в рулон радиусом $R, R \ll L$ (рис. ). Рулону придали начальную скорость $v_{0}$ (угловая скорость $v_{0}/R$), в то время как свободный конец шланга удерживают неподвижно. Шланг разворачивается и становится прямым.
а) Сколько времени потребуется, чтобы шланг полностью развернулся?
б) Скорость рулона непрерывно увеличивается, и его ускорение имеет то же направление, что и скорость. С другой стороны, вектор результирующей горизонтальных внешних сил (силы трения в сумме с ограничивающей силой на неподвижном конце шланга) указывает на противоположное направление. Как эти два факта совместимы со вторым законом Ньютона?
Чтобы упростить анализ, предположите, что начальная кинетическая энергия рулона намного больше, чем его потенциальная энергия (считайте, что $v_{0} \gg \sqrt{gR}$). Считайте, что шланг идеально гибкий и что работой, необходимой для его деформации, сопротивлением воздуха и трением качения можно пренебречь.
Решение:
а) Сначала мы определяем скорость рулона как функцию расстояния, которое он прошел. Масса перемещающейся части рулона после прохождения расстояния $x$ равна $m(x) = M \left (1 - \frac{x}{L} \right )$. Его скорость $v(x)$ можно определить из закона сохранения энергии:
$\frac{Mv_{0}^{2} }{2} + \frac{1}{2} \frac{MR^{2} }{2} \left ( \frac{v_{0} }{R} \right )^{2} = \frac{mv^{2} }{2} + \frac{1}{2} \frac{mr^{2} }{2} \left ( \frac{v}{r} \right )^{2}$,
где $MR^{2}/2$ - момент инерции рулона, в который был скатан шланг массой $M$ и радиусом $R$. Изменением потенциальной энергии и небольшой вертикальной скоростью, приобретенной в результате уменьшения радиуса рулона, пренебрегаем. Используя зависимость массы движущейся части рулона от расстояния $x$, найдем скорость $v$:
$v(x) = \frac{v_{0} }{ \sqrt{ 1 - \frac{x}{L} }}$.
С увеличением $x$ скорость также увеличивается, т.е. рулон ускоряется по мере того как разворачивается.
Полное время, требуемое для разворачивания рулона, можно получить, интегрируя величину, обратную функции $v(x) = dx/dt$:
$T = \int_{0}^{T} dt = \int_{0}^{L} \frac{dx}{v(x)} = \frac{1}{v_{0} } \int_{0}^{L} \sqrt{ 1 - \frac{x}{L} } dx = \frac{L}{v_{0} } \int_{0}^{1} \sqrt{1 - u} du = \frac{2}{3} \frac{L}{v_{0} }$.
Так как рулон ускоряется, время, требуемое для его разворачивания, очевидно, меньше, чем если бы рулон разворачивался с постоянной скоростью.
б) Систему, состоящую из рулона уменьшающейся массы, движущегося с увеличивающейся скоростью, и неподвижной горизонтальной части увеличивающейся длины, нельзя, очевидно, рассматривать как точечную массу. Поэтому основной закон динамики нельзя применять к ней в простой форме $F = ma$, а надо использовать его более общую форму:
$\sum F_{внеш} = \frac{dp_{ \sum} }{dt}$,
где $p_{ \sum}$ - импульс системы в целом.
Полный импульс перемещающегося мотка (и целиком системы) равен
$p(x) = m(x)v(x) = M \left ( 1 - \frac{x}{L} \right ) \frac{v_{0} }{ \sqrt{ 1 - \frac{x}{L} } } = Mv_{0} \sqrt{1 - \frac{x}{L} }$.
Ясно, что при увеличении $x$ импульс уменьшается. Это указывает на тот факт, что масса движущейся части уменьшается быстрее, чем увеличивается ее скорость. Поэтому результирующая сила $F(x)$, действующая на систему, противоположна направлению движения и равна
$F(x) = \frac{dp}{dt} = v(x) \frac{dp}{dx} = - \frac{Mv_{0}^{2} }{2L \left ( 1 - \frac{x}{L} \right ) }$.
Пожарный шланг массой $M$ и длиной $L$ смотан в рулон радиусом $R, R \ll L$ (рис. ). Рулону придали начальную скорость $v_{0}$ (угловая скорость $v_{0}/R$), в то время как свободный конец шланга удерживают неподвижно. Шланг разворачивается и становится прямым.
а) Сколько времени потребуется, чтобы шланг полностью развернулся?
б) Скорость рулона непрерывно увеличивается, и его ускорение имеет то же направление, что и скорость. С другой стороны, вектор результирующей горизонтальных внешних сил (силы трения в сумме с ограничивающей силой на неподвижном конце шланга) указывает на противоположное направление. Как эти два факта совместимы со вторым законом Ньютона?
Чтобы упростить анализ, предположите, что начальная кинетическая энергия рулона намного больше, чем его потенциальная энергия (считайте, что $v_{0} \gg \sqrt{gR}$). Считайте, что шланг идеально гибкий и что работой, необходимой для его деформации, сопротивлением воздуха и трением качения можно пренебречь.
Решение:
а) Сначала мы определяем скорость рулона как функцию расстояния, которое он прошел. Масса перемещающейся части рулона после прохождения расстояния $x$ равна $m(x) = M \left (1 - \frac{x}{L} \right )$. Его скорость $v(x)$ можно определить из закона сохранения энергии:
$\frac{Mv_{0}^{2} }{2} + \frac{1}{2} \frac{MR^{2} }{2} \left ( \frac{v_{0} }{R} \right )^{2} = \frac{mv^{2} }{2} + \frac{1}{2} \frac{mr^{2} }{2} \left ( \frac{v}{r} \right )^{2}$,
где $MR^{2}/2$ - момент инерции рулона, в который был скатан шланг массой $M$ и радиусом $R$. Изменением потенциальной энергии и небольшой вертикальной скоростью, приобретенной в результате уменьшения радиуса рулона, пренебрегаем. Используя зависимость массы движущейся части рулона от расстояния $x$, найдем скорость $v$:
$v(x) = \frac{v_{0} }{ \sqrt{ 1 - \frac{x}{L} }}$.
С увеличением $x$ скорость также увеличивается, т.е. рулон ускоряется по мере того как разворачивается.
Полное время, требуемое для разворачивания рулона, можно получить, интегрируя величину, обратную функции $v(x) = dx/dt$:
$T = \int_{0}^{T} dt = \int_{0}^{L} \frac{dx}{v(x)} = \frac{1}{v_{0} } \int_{0}^{L} \sqrt{ 1 - \frac{x}{L} } dx = \frac{L}{v_{0} } \int_{0}^{1} \sqrt{1 - u} du = \frac{2}{3} \frac{L}{v_{0} }$.
Так как рулон ускоряется, время, требуемое для его разворачивания, очевидно, меньше, чем если бы рулон разворачивался с постоянной скоростью.
б) Систему, состоящую из рулона уменьшающейся массы, движущегося с увеличивающейся скоростью, и неподвижной горизонтальной части увеличивающейся длины, нельзя, очевидно, рассматривать как точечную массу. Поэтому основной закон динамики нельзя применять к ней в простой форме $F = ma$, а надо использовать его более общую форму:
$\sum F_{внеш} = \frac{dp_{ \sum} }{dt}$,
где $p_{ \sum}$ - импульс системы в целом.
Полный импульс перемещающегося мотка (и целиком системы) равен
$p(x) = m(x)v(x) = M \left ( 1 - \frac{x}{L} \right ) \frac{v_{0} }{ \sqrt{ 1 - \frac{x}{L} } } = Mv_{0} \sqrt{1 - \frac{x}{L} }$.
Ясно, что при увеличении $x$ импульс уменьшается. Это указывает на тот факт, что масса движущейся части уменьшается быстрее, чем увеличивается ее скорость. Поэтому результирующая сила $F(x)$, действующая на систему, противоположна направлению движения и равна
$F(x) = \frac{dp}{dt} = v(x) \frac{dp}{dx} = - \frac{Mv_{0}^{2} }{2L \left ( 1 - \frac{x}{L} \right ) }$.
