Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10384
2019-05-11 
Длинная тяжелая и гибкая веревка с массой $\rho$ на единицу длины натянута с постоянной силой $F$. Внезапное движение формирует круглую петлю на одном конце веревки (подобным способом образуются поперечные волны), и петля бежит по веревке со скоростью $c$, как показано на рисунке.
а) Вычислите скорость с петли.
б) Определите энергию, импульс и момент импульса петли, если угловая частота вращения равна $\omega$. Какова связь между этими величинами?
Решение:
а) Исследуем движение петли в системе отсчета, которая перемещается с петлей со скоростью $c$. В этой системе участки круглой петли радиусом $R$ равномерно вращаются. Часть веревки, которая стягивает центральный угол $\Delta \alpha$ и обладает массой $\rho R \Delta \alpha$, имеет центростремительное ускорение $c^{2}R$, которое обеспечивается силой натяжения веревки (см. решение задачи 105). Второй закон Ньютона дает
$F \Delta \alpha = \rho R \Delta \alpha \frac{c^{2} }{R}$.
Таким образом, «петля-волна» перемещается со скоростью $c = \sqrt{F/ \rho}$, которая совпадает со скоростью, с которой мелкие поперечные волны распространялись бы по той же самой веревке.
6) Угловая скорость $\omega$ катящейся петли радиусом $R$ равна $\omega = c/R$, а петля имеет массу $m = 2 \pi R \rho$. Энергия, которую несет петля, можно записать в виде
$E = E_{пост} + E_{вращ} = \frac{1}{2} (2 \pi R \rho )(c^{2} + R^{2} \omega^{2} )$,
или
$E( \omega) = 2 \pi Fc \frac{1}{ \omega} = K \frac{1}{ \omega}$.
где $K = 2 \pi Fc$ - константа, характеризующая веревку и натяжение в ней. Конечно, может быть создано $n$ петель одновременно.
Тогда их полная энергия будет равна
$E_{n}( \omega ) = nK \frac{1}{ \omega}, n = 0, 1,2,3, \cdots$
Импульс петли (петель) можно рассчитать тем же способом:
$p_{n}( \omega ) = 2 \pi \rho Rnc = nK \frac{1}{c \omega}, n = 0, 1, 2, 3, \cdots$
Аналогично, момент импульса будет равен
$L_{n} ( \omega ) = \pm 2 \pi \rho R^{2}nc = \pm nK \frac{1 }{ \omega^{2} }, n = 0, 1, 2, 3, \cdots$
В этой формуле два знака соответствуют петлям, перемещающимся над веревкой и под ней.
Заметим, что разрешены круговые «волнения» только отдельных частот - энергия, импульс и момент импульса могут принимать только дискретные значения, кратные «основному кванту». Следующие отношения определяют связь между этими (зависимыми от частоты) «квантами»:
$E( \omega) = cp ( \omega ) = \omega L ( \omega)$.
Нетрудно видеть, что те же самые соотношения справедливы для фотонов:
$E_{ф} = \hbar \omega, p_{ф} = \frac{ \hbar \omega}{c}, L_{ф} = \pm \hbar$.
Естественно, эту формальную аналогию не нужно принимать слишком серьезно, например думая о фотоне как об эквиваленте петли. Однако подобие можно использовать, чтобы показать, что даже в классической физике имеются объекты более сложные, чем точечная масса, которые являются легкими для понимания, но которые все еще могут быть возбуждены до многих дискретных значений энергий, импульса и момента импульса.
Длинная тяжелая и гибкая веревка с массой $\rho$ на единицу длины натянута с постоянной силой $F$. Внезапное движение формирует круглую петлю на одном конце веревки (подобным способом образуются поперечные волны), и петля бежит по веревке со скоростью $c$, как показано на рисунке.
а) Вычислите скорость с петли.
б) Определите энергию, импульс и момент импульса петли, если угловая частота вращения равна $\omega$. Какова связь между этими величинами?
Решение:
а) Исследуем движение петли в системе отсчета, которая перемещается с петлей со скоростью $c$. В этой системе участки круглой петли радиусом $R$ равномерно вращаются. Часть веревки, которая стягивает центральный угол $\Delta \alpha$ и обладает массой $\rho R \Delta \alpha$, имеет центростремительное ускорение $c^{2}R$, которое обеспечивается силой натяжения веревки (см. решение задачи 105). Второй закон Ньютона дает
$F \Delta \alpha = \rho R \Delta \alpha \frac{c^{2} }{R}$.
Таким образом, «петля-волна» перемещается со скоростью $c = \sqrt{F/ \rho}$, которая совпадает со скоростью, с которой мелкие поперечные волны распространялись бы по той же самой веревке.
6) Угловая скорость $\omega$ катящейся петли радиусом $R$ равна $\omega = c/R$, а петля имеет массу $m = 2 \pi R \rho$. Энергия, которую несет петля, можно записать в виде
$E = E_{пост} + E_{вращ} = \frac{1}{2} (2 \pi R \rho )(c^{2} + R^{2} \omega^{2} )$,
или
$E( \omega) = 2 \pi Fc \frac{1}{ \omega} = K \frac{1}{ \omega}$.
где $K = 2 \pi Fc$ - константа, характеризующая веревку и натяжение в ней. Конечно, может быть создано $n$ петель одновременно.
Тогда их полная энергия будет равна
$E_{n}( \omega ) = nK \frac{1}{ \omega}, n = 0, 1,2,3, \cdots$
Импульс петли (петель) можно рассчитать тем же способом:
$p_{n}( \omega ) = 2 \pi \rho Rnc = nK \frac{1}{c \omega}, n = 0, 1, 2, 3, \cdots$
Аналогично, момент импульса будет равен
$L_{n} ( \omega ) = \pm 2 \pi \rho R^{2}nc = \pm nK \frac{1 }{ \omega^{2} }, n = 0, 1, 2, 3, \cdots$
В этой формуле два знака соответствуют петлям, перемещающимся над веревкой и под ней.
Заметим, что разрешены круговые «волнения» только отдельных частот - энергия, импульс и момент импульса могут принимать только дискретные значения, кратные «основному кванту». Следующие отношения определяют связь между этими (зависимыми от частоты) «квантами»:
$E( \omega) = cp ( \omega ) = \omega L ( \omega)$.
Нетрудно видеть, что те же самые соотношения справедливы для фотонов:
$E_{ф} = \hbar \omega, p_{ф} = \frac{ \hbar \omega}{c}, L_{ф} = \pm \hbar$.
Естественно, эту формальную аналогию не нужно принимать слишком серьезно, например думая о фотоне как об эквиваленте петли. Однако подобие можно использовать, чтобы показать, что даже в классической физике имеются объекты более сложные, чем точечная масса, которые являются легкими для понимания, но которые все еще могут быть возбуждены до многих дискретных значений энергий, импульса и момента импульса.
