Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10383
2019-05-11 
Тяжелая гибкая и неупругая цепь длиной $L$ висит почти симметрично на легком шкиве, который может вращаться относительно неподвижной горизонтальной оси, как показано на рисунке. Чему равна скорость цепи в момент, когда она покидает шкив?
Решение:
Как показано в решении задачи 10382, гибкая цепь (или веревка) с массой $\rho$ на единицу длины, перемещающаяся со скоростью $v$, натянута с силой
$F = \rho v^{2}$,
если она не контактирует с каким-либо другим телом. Там же было отмечено, что этот результат не зависит от радиуса $R$ кривизны образованной дуги. Это также применимо к цепям или веревкам, перемещающимся по прямой линии, когда $R$ можно формально принять бесконечно большим. Цепь становится изолированной от шкива, если в результате ее ускоряющегося движения выполняется условие $F = \rho v^{2}$.
Пусть $x$ - смещение цепи, $a$ - ускорение правой части цепи (рис.). Тогда уравнения движения для каждой части цепи запишем в виде
$F - \rho \left ( \frac{L}{2} - x \right ) g = \rho \left ( \frac{L}{2} - x \right ) a$,
$\rho \left ( \frac{L}{2} + x \right ) g - F = \rho \left ( \frac{L}{2} + x \right ) a$.
Скорость цепи для любого $x$ можно определить из закона сохранения энергии. Уменьшение потенциальной энергии цепи относительно первоначального состояния (для которого принята незначительная скорость) то же самое, как если бы часть цепи длиной $x$ была опущена на $x$. Отсюда получаем
$\rho x^{2}g = \frac{ \rho L v^{2} }{2}$.
Исключив $F$ и $a$ из вышеупомянутых уравнений, найдем, что смещение $x$ и скорость $v$ в момент, когда цепь оставляет шкив, равны
$x = \frac{ \sqrt{2}L }{4} \approx 0,35L$ и $v = \frac{ \sqrt{Lg} }{2}$.
Таким образом, цепь отделяется от шкива, когда 15% ее длины все еще перемещается вверх, а ее скорость меньше, чем получилось бы, подставляя $x = L/2$ в уравнение баланса энергии. Это ложное значение было бы равно $\sqrt{Lg}/2 \approx 0,71 \sqrt{Lg}$.
Примечание. Последующее движение цепи также интересно. Петля, однажды отделенная от шкива, начинает перемещаться вверх с увеличивающейся скоростью. Скорость этой части цепи с уменьшающейся массой, в принципе, стремится к бесконечности. В действительности конечный размер звеньев цепи и сопротивление воздуха налагают верхний предел на скорость. Кинетическая энергия части цепи, перемещающейся вверх, остается конечной, несмотря на ее быстро увеличивающуюся скорость, потому что уменьшение массы соответствующей части цепи более быстрое, чем увеличение скорости.
То же самое явление может наблюдаться, например, когда щелкают кнутом. Конец кнута перемещается с постоянно увеличивающейся скоростью, и когда она достигает скорости звука, возникает резкий щелчок.
Тяжелая гибкая и неупругая цепь длиной $L$ висит почти симметрично на легком шкиве, который может вращаться относительно неподвижной горизонтальной оси, как показано на рисунке. Чему равна скорость цепи в момент, когда она покидает шкив?
Решение:
Как показано в решении задачи 10382, гибкая цепь (или веревка) с массой $\rho$ на единицу длины, перемещающаяся со скоростью $v$, натянута с силой
$F = \rho v^{2}$,
если она не контактирует с каким-либо другим телом. Там же было отмечено, что этот результат не зависит от радиуса $R$ кривизны образованной дуги. Это также применимо к цепям или веревкам, перемещающимся по прямой линии, когда $R$ можно формально принять бесконечно большим. Цепь становится изолированной от шкива, если в результате ее ускоряющегося движения выполняется условие $F = \rho v^{2}$.
Пусть $x$ - смещение цепи, $a$ - ускорение правой части цепи (рис.). Тогда уравнения движения для каждой части цепи запишем в виде
$F - \rho \left ( \frac{L}{2} - x \right ) g = \rho \left ( \frac{L}{2} - x \right ) a$,
$\rho \left ( \frac{L}{2} + x \right ) g - F = \rho \left ( \frac{L}{2} + x \right ) a$.
Скорость цепи для любого $x$ можно определить из закона сохранения энергии. Уменьшение потенциальной энергии цепи относительно первоначального состояния (для которого принята незначительная скорость) то же самое, как если бы часть цепи длиной $x$ была опущена на $x$. Отсюда получаем
$\rho x^{2}g = \frac{ \rho L v^{2} }{2}$.
Исключив $F$ и $a$ из вышеупомянутых уравнений, найдем, что смещение $x$ и скорость $v$ в момент, когда цепь оставляет шкив, равны
$x = \frac{ \sqrt{2}L }{4} \approx 0,35L$ и $v = \frac{ \sqrt{Lg} }{2}$.
Таким образом, цепь отделяется от шкива, когда 15% ее длины все еще перемещается вверх, а ее скорость меньше, чем получилось бы, подставляя $x = L/2$ в уравнение баланса энергии. Это ложное значение было бы равно $\sqrt{Lg}/2 \approx 0,71 \sqrt{Lg}$.
Примечание. Последующее движение цепи также интересно. Петля, однажды отделенная от шкива, начинает перемещаться вверх с увеличивающейся скоростью. Скорость этой части цепи с уменьшающейся массой, в принципе, стремится к бесконечности. В действительности конечный размер звеньев цепи и сопротивление воздуха налагают верхний предел на скорость. Кинетическая энергия части цепи, перемещающейся вверх, остается конечной, несмотря на ее быстро увеличивающуюся скорость, потому что уменьшение массы соответствующей части цепи более быстрое, чем увеличение скорости.
То же самое явление может наблюдаться, например, когда щелкают кнутом. Конец кнута перемещается с постоянно увеличивающейся скоростью, и когда она достигает скорости звука, возникает резкий щелчок.
