Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10382
2019-05-11 
Гибкая однородная тяжелая цепь плотно огибает два горизонтальных цилиндра так, что ее форма напоминает беговую дорожку стадиона, т.е. она состоит из двух полуокружностей, соединенных двумя прямыми участками (рис.). Цилиндры привели во вращение, и звенья цепи стали двигаться со скоростью $v$. По некоторым причинам цепь внезапно соскальзывает с цилиндров и падает вертикально. Как будет изменяться форма цепи во время падения?
По словам Стива, цепь примет круговую форму из-за центробежной силы. Боб принимает эту точку зрения, но полагает, что первоначально «эллиптическая» цепь потеряет круговую форму под этим же воздействием и станет вертикальным эллипсом с новой большой осью, расположенной под прямым углом к первоначальной. Он ожидает, что этот процесс будет повторяться и что форма цепи между двумя эллипсами будет круговой. Фрэнк предполагает, что цепь сохранит первоначальную форму, но он не может дать никаких объяснений своему предположению.
Кто прав? Или, возможно, они все неправы?
Решение:
Мы покажем, что цепь (гибкая веревка), движущаяся с постоянной скоростью по замкнутой кривой произвольной формы, продолжает перемещаться таким же образом, даже если убрать сдерживающие предметы (например, шкивы, цилиндры и т.д.), придающие ей форму.
Рассмотрим цепь, движущуюся устойчиво по некоторой замкнутой пространственной кривой со скоростью $v$ (рис.). Сила, растягивающая цепь, должна иметь одну и ту же величину $F$ всюду, поскольку тангенциальное ускорение звеньев цепи равно нулю. Пусть $\rho$ - масса единицы длины цепи. Если радиус кривизны цепи в некоторой точке равен $R$ ($R$ может изменяться в зависимости от выбранного места), то масса кусочка цепи длиной $R \Delta \alpha$ равна $\Delta m = \rho R \Delta \alpha$, в то время как его центростремительное ускорение равно $v^{2}/R$. Можем записать уравнение движения для этого участка цепи (рис.):
$\rho R \Delta \alpha \frac{v^{2} }{R} = F \Delta \alpha$,
откуда получаем
$F = \rho v^{2}$.
Заметим, что в этом выражении нет радиуса кривизны $R$, т.е. сила натяжения не зависит от радиуса кривизны. Таким образом, результирующая касательных сил является силой, которая заставляет цепь изгибаться, что она и делает в заданном месте. Если цепь прямая, то результирующая сила, действующая на ее малую часть, равна нулю. Чем сильнее изогнута цепь, тем больше результирующая сила. Направление этой силы такое, как необходимо.
Это означает, что цепь падает, сохраняя свою первоначальную форму и скорость. Именно так и предполагал Фрэнк.
Гибкая однородная тяжелая цепь плотно огибает два горизонтальных цилиндра так, что ее форма напоминает беговую дорожку стадиона, т.е. она состоит из двух полуокружностей, соединенных двумя прямыми участками (рис.). Цилиндры привели во вращение, и звенья цепи стали двигаться со скоростью $v$. По некоторым причинам цепь внезапно соскальзывает с цилиндров и падает вертикально. Как будет изменяться форма цепи во время падения?
По словам Стива, цепь примет круговую форму из-за центробежной силы. Боб принимает эту точку зрения, но полагает, что первоначально «эллиптическая» цепь потеряет круговую форму под этим же воздействием и станет вертикальным эллипсом с новой большой осью, расположенной под прямым углом к первоначальной. Он ожидает, что этот процесс будет повторяться и что форма цепи между двумя эллипсами будет круговой. Фрэнк предполагает, что цепь сохранит первоначальную форму, но он не может дать никаких объяснений своему предположению.
Кто прав? Или, возможно, они все неправы?
Решение:
Мы покажем, что цепь (гибкая веревка), движущаяся с постоянной скоростью по замкнутой кривой произвольной формы, продолжает перемещаться таким же образом, даже если убрать сдерживающие предметы (например, шкивы, цилиндры и т.д.), придающие ей форму.
Рассмотрим цепь, движущуюся устойчиво по некоторой замкнутой пространственной кривой со скоростью $v$ (рис.). Сила, растягивающая цепь, должна иметь одну и ту же величину $F$ всюду, поскольку тангенциальное ускорение звеньев цепи равно нулю. Пусть $\rho$ - масса единицы длины цепи. Если радиус кривизны цепи в некоторой точке равен $R$ ($R$ может изменяться в зависимости от выбранного места), то масса кусочка цепи длиной $R \Delta \alpha$ равна $\Delta m = \rho R \Delta \alpha$, в то время как его центростремительное ускорение равно $v^{2}/R$. Можем записать уравнение движения для этого участка цепи (рис.):
$\rho R \Delta \alpha \frac{v^{2} }{R} = F \Delta \alpha$,
откуда получаем
$F = \rho v^{2}$.
Заметим, что в этом выражении нет радиуса кривизны $R$, т.е. сила натяжения не зависит от радиуса кривизны. Таким образом, результирующая касательных сил является силой, которая заставляет цепь изгибаться, что она и делает в заданном месте. Если цепь прямая, то результирующая сила, действующая на ее малую часть, равна нулю. Чем сильнее изогнута цепь, тем больше результирующая сила. Направление этой силы такое, как необходимо.
Это означает, что цепь падает, сохраняя свою первоначальную форму и скорость. Именно так и предполагал Фрэнк.
