Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10381
2019-05-11 
Стол высотой 1 м имеет посередине отверстие (рис.). Тонкая золотая цепочка длиной 1 м свободно лежит вокруг отверстия, как показано на рисунке. Один конец цепочки тихонько столкнули в отверстие. Трение незначительно, в результате чего цепочка проскальзывает через отверстие с увеличивающейся скоростью. Сколько времени пройдет, прежде чем второй конец цепочки окажется на полу?
Решение:
Пусть $L$ - общая высота стола и полная длина цепочки, $x$ и $m$ - длина и масса вертикально движущейся части цепочки. Уравнение движения, учитывающее изменяющуюся массу движущейся части цепочки, запишем в виде
$mg = \frac{d(mv)}{dt} = m \frac{dv}{dt} + v \frac{dm}{dt}$,
или после перегруппировки -
$m \frac{dv}{dt} = mg - v \frac{dm}{dt}$.
Левая часть уравнения - это произведение движущейся массы на ускорение $a$, правую часть уравнения можно преобразовать и упростить, используя очевидные соотношения $dm = (m/x)dx$ и $dx/dt = v$. Тогда получим
$a = g - \frac{v^{2} }{x}$.
Этот результат показывает, что ускорение цепочки меньше $g$. Второй член справа можно еще упростить, так как в случае прямолинейного движения с постоянным ускорением $a$ и нулевой начальной скоростью $\frac{ v^{2}}{x} = 2a$. Это означает, что если в данной задаче ускорение цепочки постоянно, то оно удовлетворяет уравнению
$a = g - 2a$,
откуда следует, что $a = g/3$. Мы угадали решение, но оно единственное!
Итак, первое звено цепочки упадет на стол через время
$t_{1} = \sqrt{ \frac{2L}{a} } = \sqrt{ \frac{6L}{g} } = 0,78 с$.
Когда нижний конец цепочки достигает земли, вся цепочка станет вертикальной, и ее скорость будет равна
$v_{1} = at_{1} = \frac{g}{3} \sqrt{ \frac{6L}{g} } = \sqrt{ \frac{2Lg}{3} } = 2,56 м/с$.
С этого момента цепочка свободно падает. Ее последнее звено, имея начальную скорость $v_{1}$, падает с ускорением $g$ и проходит расстояние $L$ за время $t_{2}$, которое можно найти из уравнения
$L = v_{1}t_{2} + \frac{gt_{2}^{2} }{2}$.
Отсюда получаем
$t_{2} = \sqrt{ \frac{2L}{3g}} = \frac{t_{1} }{3} = 0,26 с$.
Так что заключительное звено цепочки достигает пола за время
$t_{1} + t_{2} = \frac{4}{3} t_{1} = 1,04 с$
после начала движения цепочки.
Примечания. а) Попытка применить закон сохранения энергии ведет к ложным результатам. Например, записав уравнение
$\frac{mv_{1}^{2}}{2} = \frac{mgL}{2}$,
где $L/2$ - уменьшение высоты центра масс цепочки, а затем подставив в него $v_{1} = \sqrt{2Lg/3}$, придем к противоречивому результату:
$\frac{mgL}{2} = \frac{mv_{1}^{2} }{2} = \frac{m}{2} \sqrt{ \frac{2Lg}{3} } = \frac{mgL}{3}$.
Оказывается, третья часть энергии исчезла, рассеялась из-за неупругих столкновений, появляющихся, когда падающая часть цепочки резко приводит в движение последующие звенья.
б) Задачу можно также решить другим способом. Пусть $M$ - полная масса цепочки. Когда висящая часть цепочки массой $m = (M/L)x$ приводит в движение следующую часть, масса которой $(M/L) \Delta x = (M/L) v \Delta t$, она ускоряет ее от нулевой скорости до скорости $v$ за время $\Delta t$. Такое ускорение нуждается в силе
$\frac{ \left ( \frac{M}{L} v \Delta t \right ) v }{ \Delta t} = \frac{Mv^{2} }{L}$
Соответствующая сила реакции замедляет висящую часть цепочки, так что мы можем написать
$ma = mg - \frac{Mv^{2} }{L}$.
Подставляя сюда $m = \frac{M}{L}x$, мы получаем уже известное уравнение.
в) Предположение о том, что цепочка состоит из $n$ звеньев с расстоянием между ними $\epsilon = Ln$, также приводит к правильному ответу в пределе $n \rightarrow \infty$.
Стол высотой 1 м имеет посередине отверстие (рис.). Тонкая золотая цепочка длиной 1 м свободно лежит вокруг отверстия, как показано на рисунке. Один конец цепочки тихонько столкнули в отверстие. Трение незначительно, в результате чего цепочка проскальзывает через отверстие с увеличивающейся скоростью. Сколько времени пройдет, прежде чем второй конец цепочки окажется на полу?
Решение:
Пусть $L$ - общая высота стола и полная длина цепочки, $x$ и $m$ - длина и масса вертикально движущейся части цепочки. Уравнение движения, учитывающее изменяющуюся массу движущейся части цепочки, запишем в виде
$mg = \frac{d(mv)}{dt} = m \frac{dv}{dt} + v \frac{dm}{dt}$,
или после перегруппировки -
$m \frac{dv}{dt} = mg - v \frac{dm}{dt}$.
Левая часть уравнения - это произведение движущейся массы на ускорение $a$, правую часть уравнения можно преобразовать и упростить, используя очевидные соотношения $dm = (m/x)dx$ и $dx/dt = v$. Тогда получим
$a = g - \frac{v^{2} }{x}$.
Этот результат показывает, что ускорение цепочки меньше $g$. Второй член справа можно еще упростить, так как в случае прямолинейного движения с постоянным ускорением $a$ и нулевой начальной скоростью $\frac{ v^{2}}{x} = 2a$. Это означает, что если в данной задаче ускорение цепочки постоянно, то оно удовлетворяет уравнению
$a = g - 2a$,
откуда следует, что $a = g/3$. Мы угадали решение, но оно единственное!
Итак, первое звено цепочки упадет на стол через время
$t_{1} = \sqrt{ \frac{2L}{a} } = \sqrt{ \frac{6L}{g} } = 0,78 с$.
Когда нижний конец цепочки достигает земли, вся цепочка станет вертикальной, и ее скорость будет равна
$v_{1} = at_{1} = \frac{g}{3} \sqrt{ \frac{6L}{g} } = \sqrt{ \frac{2Lg}{3} } = 2,56 м/с$.
С этого момента цепочка свободно падает. Ее последнее звено, имея начальную скорость $v_{1}$, падает с ускорением $g$ и проходит расстояние $L$ за время $t_{2}$, которое можно найти из уравнения
$L = v_{1}t_{2} + \frac{gt_{2}^{2} }{2}$.
Отсюда получаем
$t_{2} = \sqrt{ \frac{2L}{3g}} = \frac{t_{1} }{3} = 0,26 с$.
Так что заключительное звено цепочки достигает пола за время
$t_{1} + t_{2} = \frac{4}{3} t_{1} = 1,04 с$
после начала движения цепочки.
Примечания. а) Попытка применить закон сохранения энергии ведет к ложным результатам. Например, записав уравнение
$\frac{mv_{1}^{2}}{2} = \frac{mgL}{2}$,
где $L/2$ - уменьшение высоты центра масс цепочки, а затем подставив в него $v_{1} = \sqrt{2Lg/3}$, придем к противоречивому результату:
$\frac{mgL}{2} = \frac{mv_{1}^{2} }{2} = \frac{m}{2} \sqrt{ \frac{2Lg}{3} } = \frac{mgL}{3}$.
Оказывается, третья часть энергии исчезла, рассеялась из-за неупругих столкновений, появляющихся, когда падающая часть цепочки резко приводит в движение последующие звенья.
б) Задачу можно также решить другим способом. Пусть $M$ - полная масса цепочки. Когда висящая часть цепочки массой $m = (M/L)x$ приводит в движение следующую часть, масса которой $(M/L) \Delta x = (M/L) v \Delta t$, она ускоряет ее от нулевой скорости до скорости $v$ за время $\Delta t$. Такое ускорение нуждается в силе
$\frac{ \left ( \frac{M}{L} v \Delta t \right ) v }{ \Delta t} = \frac{Mv^{2} }{L}$
Соответствующая сила реакции замедляет висящую часть цепочки, так что мы можем написать
$ma = mg - \frac{Mv^{2} }{L}$.
Подставляя сюда $m = \frac{M}{L}x$, мы получаем уже известное уравнение.
в) Предположение о том, что цепочка состоит из $n$ звеньев с расстоянием между ними $\epsilon = Ln$, также приводит к правильному ответу в пределе $n \rightarrow \infty$.
