Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10380
2019-05-11 
Чарли, студент-первокурсник университета, изучает интегральное исчисление. В качестве упражнения он должен определить положение центра масс С полуокружности, которая имеет радиус $R$ и однородное распределение масс (рис.). Его младшая сестра Дженни еще учится в средней школе и по физике изучает вращение твердых тел. Дженни наблюдает за вычислениями своего брата, но поскольку она никогда не слышала об интегральном исчислении, то многого не понимает из того, что он делает. Единственно, что она понимает, это физический смысл задачи. После размышлений и вычислений в течение некоторого времени, она говорит: «Я получила результат и могу определить положение центра масс не только полуокружности, но также любой части окружности или даже любого кругового сектора».
Как Дженни это сделала?
Решение:
Дженни рассматривает однородное кольцо радиусом $R$ и линейной плотностью $\rho$, вращающееся с постоянной угловой скоростью $\omega$ относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоскости. Центростремительное ускорение точек на кольце равно $R \omega^{2}$, так что единичная длина кольца испытывает действие силы $p = \rho R \omega^{2}$. По аналогии, если цилиндрический сосуд высотой 1 м окружить газом под давлением $p$, то сила, с которой газ давит на стенку цилиндра, будет той силой, которая требуется, чтобы обеспечить вращение кольца (рис.).
В действительности, элементы кольца сохраняются на круговой орбите не внешним давлением, а собственным внутренним натяжением $F$ кольца, величина которого определяется формулой
$F = \rho R^{2} \omega^{2}$.
Это можно доказать, ссылаясь на задачу 10378 или, например, исследуя сосуд с полукруглым основанием длиной 1 м, окруженный газом с давлением $p$ (рис.). Сила $2Rp$ действует на прямоугольник площадью $2R$ и должна быть уравновешена силой $2F$, действующей по касательной в стенке.
Теперь Дженни исследует дугу кольца, которая стягивает центральный угол $2 \alpha$ (рис.), и смотрит, как выполняется второй закон Ньютона. Результирующая сила, действующая на тело массой $m = 2 R \rho \alpha$, равна $2F \sin \alpha$, а ускорение центра масс равно
$a = h \omega^{2}$,
где $h$ - расстояние от центра кольца до центра масс дуги. Согласно второму закону Ньютона, можно записать
$2F \sin \alpha = ma$.
Используя предыдущие формулы, получаем
$h = \frac{R \sin \alpha}{ \alpha}$.
Для полукруга, как в первоначальной задаче Чарли, $\alpha = \pi/2$, и поэтому центр масс полукольца (точка С) находится на расстоянии $h = 2R/ \pi$ от центра окружности.
Для определения центр масс кругового сектора необходимо разделить его на тонкие дуги и каждую заменить точечной массой, помещенной в центр масс дуги. Ту же самую методику можно принять для нахождения центра масс треугольника, сделанного из тонких полос. Это означает, что центр масс сектора должен находиться точно в том же самом месте, что и центр масс симметричного треугольника высотой $h_{max} = \frac{R \sin \alpha}{ \alpha}$ (рис.), т.е. на расстоянии $\frac{2}{3} \frac{R \sin \alpha}{ \alpha}$ от его вершины. Этим выводом Дженни заканчивает демонстрацию своей экстраординарной логики.
Чарли, студент-первокурсник университета, изучает интегральное исчисление. В качестве упражнения он должен определить положение центра масс С полуокружности, которая имеет радиус $R$ и однородное распределение масс (рис.). Его младшая сестра Дженни еще учится в средней школе и по физике изучает вращение твердых тел. Дженни наблюдает за вычислениями своего брата, но поскольку она никогда не слышала об интегральном исчислении, то многого не понимает из того, что он делает. Единственно, что она понимает, это физический смысл задачи. После размышлений и вычислений в течение некоторого времени, она говорит: «Я получила результат и могу определить положение центра масс не только полуокружности, но также любой части окружности или даже любого кругового сектора».
Как Дженни это сделала?
Решение:
Дженни рассматривает однородное кольцо радиусом $R$ и линейной плотностью $\rho$, вращающееся с постоянной угловой скоростью $\omega$ относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоскости. Центростремительное ускорение точек на кольце равно $R \omega^{2}$, так что единичная длина кольца испытывает действие силы $p = \rho R \omega^{2}$. По аналогии, если цилиндрический сосуд высотой 1 м окружить газом под давлением $p$, то сила, с которой газ давит на стенку цилиндра, будет той силой, которая требуется, чтобы обеспечить вращение кольца (рис.).
В действительности, элементы кольца сохраняются на круговой орбите не внешним давлением, а собственным внутренним натяжением $F$ кольца, величина которого определяется формулой
$F = \rho R^{2} \omega^{2}$.
Это можно доказать, ссылаясь на задачу 10378 или, например, исследуя сосуд с полукруглым основанием длиной 1 м, окруженный газом с давлением $p$ (рис.). Сила $2Rp$ действует на прямоугольник площадью $2R$ и должна быть уравновешена силой $2F$, действующей по касательной в стенке.
Теперь Дженни исследует дугу кольца, которая стягивает центральный угол $2 \alpha$ (рис.), и смотрит, как выполняется второй закон Ньютона. Результирующая сила, действующая на тело массой $m = 2 R \rho \alpha$, равна $2F \sin \alpha$, а ускорение центра масс равно
$a = h \omega^{2}$,
где $h$ - расстояние от центра кольца до центра масс дуги. Согласно второму закону Ньютона, можно записать
$2F \sin \alpha = ma$.
Используя предыдущие формулы, получаем
$h = \frac{R \sin \alpha}{ \alpha}$.
Для полукруга, как в первоначальной задаче Чарли, $\alpha = \pi/2$, и поэтому центр масс полукольца (точка С) находится на расстоянии $h = 2R/ \pi$ от центра окружности.
Для определения центр масс кругового сектора необходимо разделить его на тонкие дуги и каждую заменить точечной массой, помещенной в центр масс дуги. Ту же самую методику можно принять для нахождения центра масс треугольника, сделанного из тонких полос. Это означает, что центр масс сектора должен находиться точно в том же самом месте, что и центр масс симметричного треугольника высотой $h_{max} = \frac{R \sin \alpha}{ \alpha}$ (рис.), т.е. на расстоянии $\frac{2}{3} \frac{R \sin \alpha}{ \alpha}$ от его вершины. Этим выводом Дженни заканчивает демонстрацию своей экстраординарной логики.
