Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10379
2019-05-11 
Легкая неупругая веревка опоясывает по полуокружности неподвижный цилиндр, как показано на рисунке. Из-за трения веревка не скользит по цилиндру, когда величины сил, действующих на ее концах, удовлетворяют неравенству $\frac{F_{A}}{2} \leq F_{B} \leq 2F_{A}$. Определите коэффициент трения между веревкой и цилиндром.
Решение:
Пусть $F_{0}$ - сила, с которой тянут за один конец веревки, и $F_{m}$ - максимальная сила, с которой можно тянуть другой конец без возникновения проскальзывания. Выделим мысленно маленький кусочек веревки длиной $R \Delta \alpha$, которая стягивает центральный угол $\Delta \alpha$ (рис.). Разность сил натяжения $F + \Delta F$ и $F$ уравновешивается силой трения покоя $\Delta F_{тр}$, которая возникает при попытке сдвинуть веревку относительно цилиндра. Максимальная сила трения (на грани скольжения) равна
$\Delta F_{тр} = \mu N$,
где $\mu$ - коэффициент трения, который требуется определить, $N$ - нормальная сила реакции, равная по величине сумме проекций сил натяжения на радиус, проведенный из середины нашего маленького кусочка веревки в центр окружности (рис.). Из рисунка видно, что (поскольку $F + \Delta F \approx F$)
$N = 2F \sin \frac{ \Delta \alpha}{2} \approx F \Delta \alpha$,
а значит,
$\Delta F_{тр} ( \alpha) = \Delta F ( \alpha) = \mu F ( \alpha) \Delta \alpha$.
Переходя к бесконечно малым приращениям, получаем дифференциальное уравнение
$\frac{dF}{d \alpha} = \mu F( \alpha)$.
После разделения переменных, получаем
$\frac{dF}{F} = \mu d \alpha$, или $d (ln F - \mu \alpha) = 0$.
Тогда решение этого уравнения записывается в виде
$F( \alpha ) = F_{0}e^{ \mu \alpha}$.
Двойное неравенство, сформулированное в задаче ($F_{A}/2 \leq F_{B} \leq 2F_{A}$), позволяет записать уравнение
$2F(0) = F ( \pi ) = F(0) e^{ \mu \pi}$,
откуда получаем выражение для коэффициента трения:
$\mu = \frac{1}{ \pi} ln 2 \approx 0,22$.
Примечание. Сила натяжения веревки увеличивается в зависимости от угла $\alpha$ по экспоненте. Поэтому отношение сил натяжения на концах веревки даже после небольшого числа оборотов может достигать нескольких порядков величины. Альпинисты используют этот факт для закрепления веревки, чтобы уберечься от падения со скалы. Моряки применяют ту же технику (наматывая веревку на кнехт), чтобы останавливать большие суда голыми руками.
Легкая неупругая веревка опоясывает по полуокружности неподвижный цилиндр, как показано на рисунке. Из-за трения веревка не скользит по цилиндру, когда величины сил, действующих на ее концах, удовлетворяют неравенству $\frac{F_{A}}{2} \leq F_{B} \leq 2F_{A}$. Определите коэффициент трения между веревкой и цилиндром.
Решение:
Пусть $F_{0}$ - сила, с которой тянут за один конец веревки, и $F_{m}$ - максимальная сила, с которой можно тянуть другой конец без возникновения проскальзывания. Выделим мысленно маленький кусочек веревки длиной $R \Delta \alpha$, которая стягивает центральный угол $\Delta \alpha$ (рис.). Разность сил натяжения $F + \Delta F$ и $F$ уравновешивается силой трения покоя $\Delta F_{тр}$, которая возникает при попытке сдвинуть веревку относительно цилиндра. Максимальная сила трения (на грани скольжения) равна
$\Delta F_{тр} = \mu N$,
где $\mu$ - коэффициент трения, который требуется определить, $N$ - нормальная сила реакции, равная по величине сумме проекций сил натяжения на радиус, проведенный из середины нашего маленького кусочка веревки в центр окружности (рис.). Из рисунка видно, что (поскольку $F + \Delta F \approx F$)
$N = 2F \sin \frac{ \Delta \alpha}{2} \approx F \Delta \alpha$,
а значит,
$\Delta F_{тр} ( \alpha) = \Delta F ( \alpha) = \mu F ( \alpha) \Delta \alpha$.
Переходя к бесконечно малым приращениям, получаем дифференциальное уравнение
$\frac{dF}{d \alpha} = \mu F( \alpha)$.
После разделения переменных, получаем
$\frac{dF}{F} = \mu d \alpha$, или $d (ln F - \mu \alpha) = 0$.
Тогда решение этого уравнения записывается в виде
$F( \alpha ) = F_{0}e^{ \mu \alpha}$.
Двойное неравенство, сформулированное в задаче ($F_{A}/2 \leq F_{B} \leq 2F_{A}$), позволяет записать уравнение
$2F(0) = F ( \pi ) = F(0) e^{ \mu \pi}$,
откуда получаем выражение для коэффициента трения:
$\mu = \frac{1}{ \pi} ln 2 \approx 0,22$.
Примечание. Сила натяжения веревки увеличивается в зависимости от угла $\alpha$ по экспоненте. Поэтому отношение сил натяжения на концах веревки даже после небольшого числа оборотов может достигать нескольких порядков величины. Альпинисты используют этот факт для закрепления веревки, чтобы уберечься от падения со скалы. Моряки применяют ту же технику (наматывая веревку на кнехт), чтобы останавливать большие суда голыми руками.
