Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10378
2019-05-11 
Тонкое кольцо радиусом $R$ сделано из материала с плотностью $\rho$ и модулем Юнга $E$. На сколько изменится длина окружности кольца, если его закрутить вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца с угловой скоростью $\omega$? Изменения длины считать малыми.
Решение:
Пусть $S$ - площадь поперечного сечения кольца, $T$ -сила натяжения в кольце. Рассмотрим малый участок кольца длиной $R \Delta \theta$ (рис.). Его масса равна $\rho SR \Delta \theta$. Этот участок находится под действием двух сил натяжения $T$, которые в сумме обеспечивают центростремительное ускорение $\omega^{2}R$, чтобы он вместе с кольцом двигался по окружности с заданной угловой скоростью $\omega$. Векторная сумма сил натяжения равна $2T sin \frac{ \Delta \theta}{2}$. Следовательно,
$\rho SR^{2} \omega^{2} \Delta \theta = 2T \sin \frac{ \Delta \theta}{2} \approx T \Delta \theta$,
откуда получаем силу натяжения, приходящуюся на единицу площади поперечного сечения кольца:
$\frac{T}{S} = \rho R^{2} \omega^{2}$.
Относительное удлинение стержня под действием силы растяжения пропорционально силе натяжения, деленной на площадь сечения и на модуль Юнга:
$\epsilon = \frac{T/S}{E}$.
Таким образом, окончательно получаем, что длина окружности кольца увеличится на
$\Delta l = \epsilon \cdot 2 \pi R = \frac{2 \pi \rho R^{3} \omega^{2}}{E}$.
Тонкое кольцо радиусом $R$ сделано из материала с плотностью $\rho$ и модулем Юнга $E$. На сколько изменится длина окружности кольца, если его закрутить вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца с угловой скоростью $\omega$? Изменения длины считать малыми.
Решение:
Пусть $S$ - площадь поперечного сечения кольца, $T$ -сила натяжения в кольце. Рассмотрим малый участок кольца длиной $R \Delta \theta$ (рис.). Его масса равна $\rho SR \Delta \theta$. Этот участок находится под действием двух сил натяжения $T$, которые в сумме обеспечивают центростремительное ускорение $\omega^{2}R$, чтобы он вместе с кольцом двигался по окружности с заданной угловой скоростью $\omega$. Векторная сумма сил натяжения равна $2T sin \frac{ \Delta \theta}{2}$. Следовательно,
$\rho SR^{2} \omega^{2} \Delta \theta = 2T \sin \frac{ \Delta \theta}{2} \approx T \Delta \theta$,
откуда получаем силу натяжения, приходящуюся на единицу площади поперечного сечения кольца:
$\frac{T}{S} = \rho R^{2} \omega^{2}$.
Относительное удлинение стержня под действием силы растяжения пропорционально силе натяжения, деленной на площадь сечения и на модуль Юнга:
$\epsilon = \frac{T/S}{E}$.
Таким образом, окончательно получаем, что длина окружности кольца увеличится на
$\Delta l = \epsilon \cdot 2 \pi R = \frac{2 \pi \rho R^{3} \omega^{2}}{E}$.
