Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10376
2019-05-11 
В физическом трюке два шара, маленький радиусом $r$ и большой радиусом $R = 2r$, находясь на тележке, катятся без проскальзывания таким образом, что прямая линия, соединяющая центры шаров, долгое время составляет угол $\phi = 60^{ \circ}$ с горизонтом, если на тележку действовать некоторой горизонтальной силой $F$ (рис.).
а) Найдите величину силы $F$.
б) Через какое время шары упадут с тележки?
Считать, что шары изготовлены из одного материала, длина тележки $L = 2 м$, ее масса $M = 6 кг$, масса меньшего шара $m = 1 кг$. Вначале шары находились посередине тележки.
Решение:
Пусть $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ - угловые ускорения маленького и большого шаров, $a_{1}$ и $a_{2}$ - линейные ускорения системы из двух шаров и тележки, на которой находятся шары. Поскольку шары катятся без проскальзывания, имеем
$R \alpha_{2} - a_{2} - a_{1}$ и $R \alpha_{2} - r \alpha_{1}$,
или, так как $R = 2r$,
$\alpha_{1} = 2 \alpha_{2} = \frac{a_{2} - a_{1} }{r}$.
Момент инерции маленького шара равен $(2/5) mr^{2}$. Момент инерции большого шара с той же самой плотностью равен
$\frac{2}{5} 8m (2r)^{2} = \frac{64}{5} mr^{2}$.
Используя систему обозначений на рисунке, напишем следующие уравнения движения (поступательного и вращательного):
$F - F_{тр} = Ma_{2}$,
$8mg + N_{1} - N = 0$,
$F_{тр} - N_{2}= 8ma_{1}$,
$mg - N_{1} = 0$,
$N_{2} = ma_{1}$,
$N_{1} r \cos \phi - N_{2} r \sin \phi = \frac{2}{5} mr^{2} \alpha_{1}$,
$2rF_{тр} + 2N_{2} r \sin \phi - 2N_{1}r \cos \phi = \frac{64}{5} mr^{2} \alpha_{2}$.
Отсюда можно выразить силу $F$:
$F = \left ( 9m + \frac{7}{2}M \right ) g \frac{ \cos \phi}{1 + \sin \phi} \approx 79 Н$.
Ускорение шаров относительно тележки определяется формулой
$\Delta a = (a_{2} - a_{1} ) = \frac{5}{2} g \frac{ \cos \phi}{1 + \sin \phi}$.
Через время $t$, когда шары упадут с тележки, относительно тележки они пройдут расстояние, равное $L/2$. Поскольку их начальные скорости нулевые, это время равно
$t = \sqrt{ \frac{L}{ \Delta a} } \approx 0,55 с$.
Примечание. Интересно, что этот трюк можно также выполнить с меньшим шаром в горизонтальном положении ($\phi = 0$). В этой ситуации сила трения между шарами уравновешивает силу тяжести меньшего шара. Более того, если коэффициент трения между шарами достаточно большой, возможна ситуация с отрицательным углом $\phi$!
В физическом трюке два шара, маленький радиусом $r$ и большой радиусом $R = 2r$, находясь на тележке, катятся без проскальзывания таким образом, что прямая линия, соединяющая центры шаров, долгое время составляет угол $\phi = 60^{ \circ}$ с горизонтом, если на тележку действовать некоторой горизонтальной силой $F$ (рис.).
а) Найдите величину силы $F$.
б) Через какое время шары упадут с тележки?
Считать, что шары изготовлены из одного материала, длина тележки $L = 2 м$, ее масса $M = 6 кг$, масса меньшего шара $m = 1 кг$. Вначале шары находились посередине тележки.
Решение:
Пусть $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ - угловые ускорения маленького и большого шаров, $a_{1}$ и $a_{2}$ - линейные ускорения системы из двух шаров и тележки, на которой находятся шары. Поскольку шары катятся без проскальзывания, имеем
$R \alpha_{2} - a_{2} - a_{1}$ и $R \alpha_{2} - r \alpha_{1}$,
или, так как $R = 2r$,
$\alpha_{1} = 2 \alpha_{2} = \frac{a_{2} - a_{1} }{r}$.
Момент инерции маленького шара равен $(2/5) mr^{2}$. Момент инерции большого шара с той же самой плотностью равен
$\frac{2}{5} 8m (2r)^{2} = \frac{64}{5} mr^{2}$.
Используя систему обозначений на рисунке, напишем следующие уравнения движения (поступательного и вращательного):
$F - F_{тр} = Ma_{2}$,
$8mg + N_{1} - N = 0$,
$F_{тр} - N_{2}= 8ma_{1}$,
$mg - N_{1} = 0$,
$N_{2} = ma_{1}$,
$N_{1} r \cos \phi - N_{2} r \sin \phi = \frac{2}{5} mr^{2} \alpha_{1}$,
$2rF_{тр} + 2N_{2} r \sin \phi - 2N_{1}r \cos \phi = \frac{64}{5} mr^{2} \alpha_{2}$.
Отсюда можно выразить силу $F$:
$F = \left ( 9m + \frac{7}{2}M \right ) g \frac{ \cos \phi}{1 + \sin \phi} \approx 79 Н$.
Ускорение шаров относительно тележки определяется формулой
$\Delta a = (a_{2} - a_{1} ) = \frac{5}{2} g \frac{ \cos \phi}{1 + \sin \phi}$.
Через время $t$, когда шары упадут с тележки, относительно тележки они пройдут расстояние, равное $L/2$. Поскольку их начальные скорости нулевые, это время равно
$t = \sqrt{ \frac{L}{ \Delta a} } \approx 0,55 с$.
Примечание. Интересно, что этот трюк можно также выполнить с меньшим шаром в горизонтальном положении ($\phi = 0$). В этой ситуации сила трения между шарами уравновешивает силу тяжести меньшего шара. Более того, если коэффициент трения между шарами достаточно большой, возможна ситуация с отрицательным углом $\phi$!
