Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10373
2019-05-11 
Наклонная плоскость, составляющая угол $\alpha$ с горизонтом, оснащена большим количеством одинаковых роликов, расположенных последовательно на расстоянии $d$ друг от друга (рис.). Ролики имеют горизонтальные оси и представляют собой покрытые тонким слоем каучука стальные цилиндры массой $m$ и радиусом $r$. Доска массой $M$ и длиной $L \gg d$ пущена сверху по роликам без начальной скорости. Найдите конечную скорость доски. Сопротивлением воздуха и трением в подшипниках пренебречь.
Решение:
При прохождении расстояния $L$ доска приобретает скорость $v_{m}$ и сообщает роликам угловую скорость $\omega_{m} = v_{m}/r$. При этом потенциальная энергия доски уменьшается на $MgL \sin \alpha$, а кинетическая энергия каждого ролика становится равной
$\frac{I \omega_{m}^{2}}{2} = \frac{mv_{m}^{2} }{4}$.
Заметим, что конечная линейная скорость каждого ролика равна установившейся скорости доски, а момент инерции каждого ролика равен $I = mr^{2}/2$.
Неправильно полагать, что потерянная потенциальная энергия доски просто преобразуется в кинетическую энергию роликов. Дело в том, что при любом ускорении за счет трения возникает проскальзывание, а значит, есть потери на трение.
Пусть $F(t)$ - сила трения между отдельным роликом и доской. (Необязательно предполагать, что эта сила постоянна во времени.) Изменение момента импульса ролика $I \Delta \omega$ в течение малого интервала времени $\Delta t$ равно
$I \Delta \omega = rF(t) \Delta t$.
Эти изменения можно просуммировать по времени взаимодействия ролика и доски и получить уравнение, содержащее конечную угловую скорость ролика $\omega_{m}$:
$r \sum F(t) \Delta t = I \omega_{m} = \frac{I v_{m} }{r}$.
С другой стороны, в течение интервала $\Delta t$ силы трения совершают работу, равную произведению силы трения на относительное смещение соприкасающихся поверхностей. Эта работа выделится в виде тепла:
$\Delta Q = F(t)(v_{m} - r \omega(t)) \Delta t$.
Общее количество рассеянной механической энергии будет равно
$Q = \sum F(t)(v_{m} - r \omega (t)) \Delta t = r \omega_{m} \sum F(t) \Delta t - I \sum \omega \Delta \omega = I \omega_{m}^{2} - \frac{I \omega_{m}^{2} }{2} = \frac{I \omega_{m}^{2} }{2}$.
Здесь мы использовали тот факт, что
$\omega \Delta \omega = \frac{1}{2} \Delta ( \omega^{2} )$.
Полученный результат показывает, что выделившееся количество теплоты равно величине кинетической энергии, приобретенной роликами. Замечательно, что результат не зависит ни от величины силы трения, ни от ее зависимости от времени.
Запишем теперь уравнение энергетического баланса для установившегося движения доски:
$MgL \sin \alpha = \frac{L}{d} \frac{mv_{m}^{2} }{4} + Q = 2 \frac{L}{d} \frac{mv_{m}^{2} }{4}$.
Отсюда находим конечную скорость доски:
$v_{m} = \sqrt{ \frac{2Mgd \sin \alpha}{m} }$.
Наклонная плоскость, составляющая угол $\alpha$ с горизонтом, оснащена большим количеством одинаковых роликов, расположенных последовательно на расстоянии $d$ друг от друга (рис.). Ролики имеют горизонтальные оси и представляют собой покрытые тонким слоем каучука стальные цилиндры массой $m$ и радиусом $r$. Доска массой $M$ и длиной $L \gg d$ пущена сверху по роликам без начальной скорости. Найдите конечную скорость доски. Сопротивлением воздуха и трением в подшипниках пренебречь.
Решение:
При прохождении расстояния $L$ доска приобретает скорость $v_{m}$ и сообщает роликам угловую скорость $\omega_{m} = v_{m}/r$. При этом потенциальная энергия доски уменьшается на $MgL \sin \alpha$, а кинетическая энергия каждого ролика становится равной
$\frac{I \omega_{m}^{2}}{2} = \frac{mv_{m}^{2} }{4}$.
Заметим, что конечная линейная скорость каждого ролика равна установившейся скорости доски, а момент инерции каждого ролика равен $I = mr^{2}/2$.
Неправильно полагать, что потерянная потенциальная энергия доски просто преобразуется в кинетическую энергию роликов. Дело в том, что при любом ускорении за счет трения возникает проскальзывание, а значит, есть потери на трение.
Пусть $F(t)$ - сила трения между отдельным роликом и доской. (Необязательно предполагать, что эта сила постоянна во времени.) Изменение момента импульса ролика $I \Delta \omega$ в течение малого интервала времени $\Delta t$ равно
$I \Delta \omega = rF(t) \Delta t$.
Эти изменения можно просуммировать по времени взаимодействия ролика и доски и получить уравнение, содержащее конечную угловую скорость ролика $\omega_{m}$:
$r \sum F(t) \Delta t = I \omega_{m} = \frac{I v_{m} }{r}$.
С другой стороны, в течение интервала $\Delta t$ силы трения совершают работу, равную произведению силы трения на относительное смещение соприкасающихся поверхностей. Эта работа выделится в виде тепла:
$\Delta Q = F(t)(v_{m} - r \omega(t)) \Delta t$.
Общее количество рассеянной механической энергии будет равно
$Q = \sum F(t)(v_{m} - r \omega (t)) \Delta t = r \omega_{m} \sum F(t) \Delta t - I \sum \omega \Delta \omega = I \omega_{m}^{2} - \frac{I \omega_{m}^{2} }{2} = \frac{I \omega_{m}^{2} }{2}$.
Здесь мы использовали тот факт, что
$\omega \Delta \omega = \frac{1}{2} \Delta ( \omega^{2} )$.
Полученный результат показывает, что выделившееся количество теплоты равно величине кинетической энергии, приобретенной роликами. Замечательно, что результат не зависит ни от величины силы трения, ни от ее зависимости от времени.
Запишем теперь уравнение энергетического баланса для установившегося движения доски:
$MgL \sin \alpha = \frac{L}{d} \frac{mv_{m}^{2} }{4} + Q = 2 \frac{L}{d} \frac{mv_{m}^{2} }{4}$.
Отсюда находим конечную скорость доски:
$v_{m} = \sqrt{ \frac{2Mgd \sin \alpha}{m} }$.
